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Como es bien sabido, tal como se explica en el artículo “Deep beams – Strut and tie VS Non-linear models”, las vigas de gran canto son elementos particulares que generalmente deben estudiarse utilizando un modelo de bielas y tirantes. En el gráfico “Stress distribution variation in beams and deep beams” vemos que la distribución de tensiones varía en función de la relación luz/altura de la viga de gran canto (L/H). En la siguiente imagen vemos que cuanto menor es la relación L/H, mayor es la diferencia entre la distribución de tensiones en el plano lineal y la real.
Figura 1. Distribución de tensiones en vigas de gran canto
Dado que estos elementos, las vigas de gran canto, no siguen la clásica distribución de tensiones de Navier-Bernoulli, no pueden estudiarse utilizando las fórmulas clásicas elásticas, y se debe aplicar un modelo de bielas y tirantes. En algunos casos, estos elementos se estudian utilizando un modelo de elementos finitos lineales con leyes de materiales lineales y distribuciones de tensiones lineales. Sin embargo, en las combinaciones de límite último ULS, los materiales alcanzan sus límites elásticos, el hormigón se fisura y se produce la redistribución de tensiones.
Figura 2. Distribución de tensiones lineales en vigas de gran vano - Direcciones principales
El objetivo de este artículo es realizar un cálculo de una viga de gran canto utilizando hipótesis lineales y compararlo con un cálculo no lineal completo con propiedades no lineales del hormigón (fisuración y fallo por compresión) y una ley de armadura no lineal (ley bilineal que considera la plasticidad de la armadura). Para este propósito:
· Se utiliza un modelo de Ansys, utilizando elementos SOLID65, que representa una viga de gran canto de 10m x 7m x 0.5m. Los soportes son de 1m x 1m x 0.5m, utilizados para evitar la concentración de tensiones que aparece cuando los soportes puntuales se aplican directamente al modelo. Se considera que, para el cálculo no lineal, el muro está reforzado con un ratio de 0.00314 (equivalente a C20@400mm (15.7 cm2/m) en cada cara).
· Se aplicarán tres cargas distribuidas diferentes en la parte superior de la viga para comparar ambos modelos, el lineal y el no lineal. La carga se incrementará empezando con valores bajos, donde la armadura no plastifica, y termina con la carga máxima permitida donde la armadura plastificará completamente y alcanzará su deformación límite.
Geometría, Materiales y Cargas del Modelo
La siguiente imagen presenta la geometría que, como se explicó anteriormente, es una viga de gran canto de 10m x 7m x 0.5m con soportes de 1m x 1m x 0.5m, lo que lleva a una luz libre de 8 m:
Figura 3. Geometría del Modelo Ansys
Para el refuerzo típicos de las vigas de gran canto, como se explica en la siguiente imagen extraída de "Dimensionnement des constructions selon l'eurocode 2 à l'aide des modèles beilles et tirants - Jean-Louis BOSC", se puede suponer que el tirante inferior se coloca a una altura de 0.15L, que, para nuestro modelo estudiado, es alrededor de 0.15 * 9 m = 1.35 m. Dado que la viga de gran canto se ha reforzado con una proporción de 0.00314, esto significa que, en la altura dada de 1.35 m, debería haber 1.35 * 0.5 * 0.00314 * 10^4 = 21 cm² como tirante principal.
Figura 4. Ubicación del refuerzo de la viga de gran canto siguiendo "Dimensionnement des constructions selon l'eurocode 2 à l'aide des modèles beilles et tirants", un libro de Jean-Louis BOSC
El modelo lineal se realiza utilizando un material con módulo de Young de 27 GPa. Para el modelo no lineal, se ha utilizado el material CONCRETE disponible en Ansys considerando 0.4 MPa como la tensión de tracción uniaxial de fisuración y 30 MPa de compresión uniaxial. El acero se ha modelado utilizando la siguiente ley de material no lineal.
Figura 5. Material de Acero de Refuerzo No Lineal de ANSYS
Para la carga, se aplican 3 cargas diferentes, todas ellas cargas distribuidas aplicadas en la parte superior de la viga de gran canto. Se compararán los resultados del cálculo lineal y no lineal para: 100 kN/m, 700 kN/m y 1500 kN/m.
Caso 1 - Carga Total: 1000 kN (100 kN/m en la parte superior)
Para el caso en el que se aplican 1000 kN:
· El hormigón todavía no está fisurado en el centro del vano.
· Han aparecido pequeñas fisuras cerca de los soportes pero están cerradas (capaces de transmitir el esfuerzo cortante).
La siguiente imagen presenta el estado de las fisuras (izquierda) y el patrón de fisuras (derecha):
Figura 6. Estado de fisuración en el modelo no lineal (izquierda) - Patrón de fisuración (derecha) - Caso 1
La siguiente imagen presenta la distribución de fuerzas nodales en el centro del muro en toda la altura. Como se puede ver, para el caso en que el hormigón casi no está fisurado, ambos modelos representan resultados casi iguales:
Figura 7. Distribución de la fuerza nodal horizontal (*) (N) en el centro del vano - Caso 1
(*)Cada valor presentado es una fuerza nodal. Como hay un elemento SOLID65 en el grosor del muro, hay 2 nodos, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen. La distancia entre nodos es de 0.5 m, por lo tanto, por ejemplo, la fuerza máxima en el modelo no lineal es: 24.68 (kN) * 2 (nodos) / 0.5 (altura del elemento) = 98.7 kN/m.
El siguiente gráfico compara las fuerzas nodales de la imagen anterior:
Figura 8. Comparación de la fuerza nodal horizontal (N) - Caso 1
Dado que hay un elemento SOLID65 en el grosor del muro, hay 2 nodos, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen anterior.
También se ha calculado el refuerzo total que sería necesario para las fuerzas nodales presentadas anteriormente. Para las fuerzas negativas, es decir, compresión, el refuerzo se establece en 0 cm², pero se debe aplicar el refuerzo mínimo. La figura a continuación presenta el refuerzo total necesario, es decir, para los dos nodos presentes en el grosor del elemento (en la imagen anterior, se proporciona la fuerza nodal de solo un nodo en el grosor).
Figura 9. Comparación del armado requerido (cm²) - Caso 1
La siguiente imagen presenta las tensiones en el armado. Dado que el hormigón no está fisurado, la tensión en el armado es muy baja (menos de 50 MPa):
Figura 10. Tensiones en el armado (N/m²) en el modelo no lineal - Caso 1
Caso 2 – Carga Total: 1000 kN (100 kN/m en la parte superior)
Para el caso en el que se aplican 7000 kN:
· El hormigón se ha fisurado en dirección horizontal (fisuras verticales/inclinadas) de forma general, a lo largo de todo el muro.
· La tensión en el armado sigue siendo baja, como se muestra a continuación (250 MPa).
La siguiente imagen presenta el estado de las fisuras (izquierda) y el patrón de fisuración (derecha):
Figura 11. Estado de fisuración en el modelo no lineal (izquierda) - Patrón de fisuración (derecha) - Caso 2
La siguiente imagen presenta la distribución de fuerzas nodales en el centro del vano a lo largo de la altura del muro. Como se puede observar, ambos modelos comienzan a diferir debido a la fisuración del hormigón y, por lo tanto, a la pérdida de rigidez:
Figura 12. Distribución de la fuerza nodal horizontal (*) (N) en el centro del vano - Caso 2
(*)Cada valor presentado es una fuerza nodal. Como hay un elemento SOLID65 en el grosor del muro, hay 2 nodos, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen
El siguiente gráfico compara las fuerzas nodales de la imagen anterior:
Figura 13. Comparación de la fuerza nodal horizontal (N) - Caso 2
Dado que hay un elemento SOLID65 en el espesor del muro, hay 2 nodos por cada altura representada, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen anterior.
También se ha calculado el armado total requerido para las fuerzas nodales mencionadas anteriormente. Para las fuerzas negativas, que significan compresión, el armado se establece en 0 cm², pero se debe aplicar el armado mínimo. La figura a continuación presenta el armado total requerido, lo que significa para los dos nodos presentes en el espesor del elemento (en la imagen anterior, solo se proporciona la fuerza nodal de un nodo en el espesor).
Figura 14. Comparación del armado requerido (cm²) - Caso 2
La siguiente imagen presenta la fuerza de tensión en el armado. Dado que el hormigón ya está fisurado, la tensión en el armado se ha incrementado en comparación con el caso anterior. Presenta tensiones entre 200 y 300 MPa, no se detecta plastificación:
Figura 15. Tensiones en el armado (N/m²) en el modelo no lineal - Caso 2
Case 3 – Carga Total: 15000kN (1500kN/ m en la parte superior)
Para el caso en el que se aplican 15000 kN:
· El hormigón está completamente fisurado en toda la altura del muro
· Los apoyos están modelados con material de hormigón lineal para evitar inestabilidades locales
· El armado está completamente plastificado en el tirante inferior
La siguiente imagen presenta el estado de las fisuras (izquierda) y el patrón de fisuración (derecha):
Figura 16. Estado de fisuración en el modelo no lineal (izquierda) - Patrón de fisuración (derecha) - Caso 3
La siguiente imagen presenta las tensiones de tracción en el armado. Dado que el hormigón ya estaba fisurado, la tensión en el armado se ha incrementado en comparación con el caso anterior, presentando plastificación local en la armadura principal inferior (500 MPa alcanzados).
Figura 17. Tensiones en el armado (N/m²) en el modelo no lineal - Caso 3
La siguiente imagen presenta la distribución de fuerzas nodales en el centro del muro en toda su altura para ambos casos, lineal y no lineal. Como se puede observar, la distribución de tensiones es totalmente diferente, estando el armado plastificado en la parte inferior para el cálculo no lineal:
Figura 18. Distribución de la fuerza nodal horizontal (*) (N) en el centro del vano - Caso 3
(*) Cada valor presentado es una fuerza nodal. Como hay un elemento SOLID65 en el grosor del muro, hay 2 nodos, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen
El siguiente gráfico compara las fuerzas nodales de la imagen anterior:
Figura 19. Comparación de la fuerza nodal horizontal (N) - Caso 3
Dado que hay un elemento SOLID65 en el espesor del muro, hay 2 nodos por cada altura representada, por lo que la fuerza total es el doble de la presentada en la imagen anterior.
También se ha calculado el refuerzo total requerido para las fuerzas nodales mencionadas anteriormente. Para las fuerzas negativas, que significan compresión, el refuerzo se establece en 0 cm², pero se debe aplicar el refuerzo mínimo. La figura a continuación presenta el refuerzo total requerido, lo que significa para los dos nodos presentes en el espesor del elemento (en la imagen anterior, solo se proporciona la fuerza nodal de un nodo en el espesor).
Figura 20. Comparación del armado requerido (cm²) - Caso 3
CONCLUSION
Se observa que la distribución de tensiones es completamente diferente en el caso elástico lineal y en el caso plástico no lineal con el hormigón completamente fisurado y el armado parcialmente plastificado en la parte inferior. Se recuerda que para el cálculo no lineal, el muro está reforzado con un ratio de 0.00314 (equivalente a C20@400mm (15.7 cm2/m) en cada cara). Un armado diferente conduciría a resultados diferentes ya que cambiarían las rigideces.
Para los casos estudiados se observan los siguientes puntos:
Distribución nodal:
· Cuando el hormigón no está fisurado, la distribución nodal en el modelo lineal y el no lineal es bastante similar.
· Cuando aparecen fisuras, hay una gran pérdida de rigidez en el modelo no lineal en el área fisurada. La altura de tracción aumenta considerablemente y la distribución de tensiones es más constante en la altura del muro en comparación con el caso lineal.
· Para el Caso 3 (carga máxima resistida), el cálculo lineal presenta un pico de fuerza nodal de 504kN, concentrado en la parte inferior. Se aprecia que las máximas fuerzas nodales aparecen aproximadamente a 1,0-1,3 m en la parte inferior del muro. La distribución en el caso lineal se ajusta bastante bien a los modelos estándar de bielas y tirantes.
· Sin embargo, la distribución de tensiones del modelo no lineal es totalmente diferente a la lineal y a la propuesta por el modelo de bielas y tirantes. El cálculo no lineal presenta una distribución más uniforme de las fuerzas nodales. Se verifica que, en aproximadamente 2 metros de la parte inferior, el armado está plastificado. Presenta un pico de 196kN coincidiendo con el valor de plastificación del armado.
Diseño del armado:
· Cálculo lineal: Usando los resultados lineales, el armado habría sido diseñado para resistir una carga pico de 1008 kN en 0,5 m de altura en la parte inferior (1707 kN/m si se utilizan los valores en 1 m - 34 cm²/m). Esto significa que el cálculo lineal proporciona una alta concentración de armado en la parte inferior.
· Cálculo no lineal: El muro estudiado, reforzado con un armado uniforme de 15,7 cm²/m, resistiría las cargas. El armado en la cara inferior habría plastificado pero no habría alcanzado la deformación de rotura límite.
· Es interesante observar que el armado total, calculado utilizando las fuerzas nodales, es casi el mismo para ambos casos, pero distribuido de manera diferente. Sin embargo, se observa que si se arma el muro siguiendo en el cálculo lineal, el armado se concentraría en el tirante inferior y se debería colocar también el armado mínimo en toda la altura de la viga de gran canto, lo que conduce a mayores cantidades de armado. Se recuerda que las fuerzas nodales en el modelo no lineal están vinculadas al armado modelado. Si se hubiera modelado un armado diferente, se habrían obtenido diferentes cargas.
En general, se observa que la distribución del armado requerido por los cálculos de bielas y tirantes y el cálculo lineal está fuertemente concentrado en la parte inferior de la viga de gran canto, mientras que, en realidad, podría permitirse una distribución más uniforme a lo largo de la altura del muro. Sin embargo, sería necesario confiar en la capacidad de ductilidad del armado para distribuir las tensiones, lo que conduce a mayores deformaciones debido a una plastificación del armado y a unas fisuras mayores.
Se recuerda que este artículo estudia un caso particular y las conclusiones podrían variar si se aplicaran en otros casos bajo diferentes condiciones. Es responsabilidad del ingeniero definir y verificar las hipótesis y el diseño del armado correctos.
Referencias
[1] Deep beams – Strut and tie VS Non-linear models
https://www.prontubeam.com/articles/2023-08-27-Deep-beams-Strut-and-tie-VS-Non-linear
[2] Stress distribution variation in beams and deep beams -
[3] EN 1992-1-1 Eurocode 2 - Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings
[4] "Dimensionnement des constructions selon l'eurocode 2 à l'aide des modèles beilles et tirants » - Jean-Louis BOSC
[5] Deep beam – Linear VS Non-linear calculation -
https://www.prontubeam.com/articles/2023-11-02-Deep-beam-Linear-VS-Non-linear-calculation
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