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En el artículo “Esfuerzo rasante – Ejemplo de cálculo explicado” ayudamos a entender el esfuerzo rasante, su origen, cómo calcularlo y su relación con el momento y el cortante. Como vimos, este esfuerzo rasante surge para equilibrar la diferencia de tensiones normales entre dos secciones debido a la variación de momento. Todo el desarrollo del artículo mencionado, junto con la fórmula de Collignon, está basado en distribuciones elásticas en la sección, todo ello fundamentado en las ecuaciones del equilibrio elástico.
La duda surge en qué ocurre con este rasante cuando las tensiones normales entre dos secciones para una fibra dada se igualan por plastificación de las secciones. Recordamos que, en régimen elástico, cuando hay variación de momentos la integral de las tensiones normales entre la fibra superior y la fibra donde queremos calcular el rasante, para dos secciones, es distinta (N1≠N2). Esta diferencia es el origen del rasante. Sin embargo, cuando nuestra sección plastifica, estos dos valores pueden llegar a igualarse (N1=N2).
Figura 1.Esfuerzo rasante entre dos secciones – Izquierda régimen elástico – Derecha régimen plástico
En este artículo vamos a centrarnos en materiales como el acero, ya que materiales como el hormigón tienen muchas no linealidades del material producidas por la fisuración y su constitución no homogénea que complica el desarrollo. Se dará un breve enfoque para el hormigón al final del artículo. Para el acero, vamos a suponer una ley bilineal elasto-plástica perfecta, es decir, la curva de plasticidad es plana, sin endurecimiento, propuesta en el EN 1993-1-1, §5.4.3 (4):
Figura 2.Relación del material considerada para el acero EN 1993-1-1
Introducción a la plastificación – Efecto sobre el rasante
Según el Eurocódigo 1993-1-1, las clases de perfiles Clase 1 y Clase 2, permiten cálculos en régimen plástico. Es decir, el material alcanza su límite elástico fy en toda la sección, tal como se muestra en la imagen siguiente extraída de la tabla 5.2 de EN 1993-1-1:
Figura 3.Clasificación de las clases de sección – Clases 1 y 2 – Cálculo plástico
Como sabemos, para que se produzca rasante entre dos secciones, tiene que haber una diferencia de tensiones normales entre las dos secciones. Sin embargo, si entre estas dos secciones se ha alcanzado la plastificación, no existe esta variación:
Figura 4.Sección parcialmente plastificada – Distribución de tensiones
En este caso, al ser N1=N2, todo parece indicar que no podría producirse rasante entre estas dos secciones bajo estas condiciones de material y carga.
Comprobación mediante modelo numérico
Para comprobar que realmente no existe rasante entre las dos secciones parcialmente plastificadas, hemos reproducido una viga en un modelo de elementos finitos, simplemente apoyada, cargada en su parte superior con una carga repartida y con la ley de materiales antes mencionada:
Figura 5.Modelo de elementos finitos y ley de material utilizado
Hemos usado dos valores de carga, uno que permita permanecer en el régimen elástico y otro que la viga entre en régimen plástico en ciertas zonas:
Figura 6.Estados tensionales utilizados - Elástico y parcialmente platificado
Hemos calculado el rasante en ambos casos en tres secciones horizontales distintas A, B y C:
Figura 7.Secciones horizontales de estudio del rasante
En estas 3 secciones hemos calculado también el rasante teórico elástico que obtendríamos en un cálculo a mano con la fórmula de Collignon. Los resultados presentados son por unidad de carga, es decir, como los dos modelos no tienen la misma carga aplicada, hemos divido los resultados por la carga aplicada para poder compararlos:
· La primera sección A, a una distancia y=0.1m por encima del eje de la viga, nos muestra:
(*) R theoretical elastic = Rasante obtenido con la fórmula de Collignon para el valor del cortante en cada punto
Figura 8.Resultados – Esfuerzo rasante en sección A
o Que para la zona plastificada el rasante es casi nulo (no es cero absoluto). Creemos que no es totalmente nulo ya que existe una carga en la parte superior de la viga que se transmite parcialmente mediante σz (compresión) y cortantes τ casi nulos de tal manera que la sección ha plastificado en Von Mises por la concomitancia de tensiones normales y estos valores mínimos de cortante.
o Recordamos que el cortante y el rasante están ligados. En todo caso, es mucho menor que el que obtendríamos con un cálculo elástico usando la fórmula de Collignon.
o No hay que olvidar que para llegar a este estado tensional de plastificación la sección ha atravesado estados tensionales elásticos en los que sí ha habido rasante y hay que calcularlos con la fórmula de Collignon.
o Tampoco hay que olvidar que este ejemplo usa una ley de materiales simplificada y la realidad es más compleja, como se analizará a posteriori
Vamos a superponer la viga en estado tensional plastificado y los rasantes obtenidos para ver en más detalle el comportamiento.
Figura 9.Resultados – Relación entre viga y esfuerzo rasante en sección A
· La segunda y tercera sección, B y C, muestran un comportamiento muy semejante. Ambas están por debajo del eje de la viga y no atraviesan ninguna sección donde haya plastificado el material. Vemos que el rasante obtenido en el modelo supera en ciertas zonas el que hubiéramos obtenido con la fórmula lineal de Collignon:
Figura 10.Resultados – Esfuerzo rasante en sección B
Figura 11.Resultados – Esfuerzo rasante en sección C
Si lo miramos más en detalle, observamos lo siguiente:
· El rasante se vuelve máximo en aquellas secciones que tienen una parte plastificada pero que la plastificación no llega a la fibra estudiada (B o C).
· El pico máximo se produce cuando está plastificada la sección superior y la parte inferior queda en régimen elástico. En esta sección, la variación de tensiones normales por debajo de la fibra estudiada (B o C) es máximo y por lo tanto lo es el rasante.
· En las zonas de la viga donde la sección está totalmente en régimen elástico, el rasante vuelve a coincidir con la fórmula de Collignon.
Figura 12.Resultados – Relación entre viga y esfuerzo rasante en sección B
Figura 13.Resultados – Relación entre viga y esfuerzo rasante en sección C
Recordamos que estos resultados están basados en un criterio de plastificación de Von Mises y que usa una ley del material bilineal elástica-perfectamente plástica.
Relación cortante – Rasante. Cortante plástico según Eurocódigo EN 1993-1-1
Si recordamos, las tensiones normales, el rasante y el cortante están íntimamente ligados. En un cálculo elástico, en una sección conviven los esfuerzos normales con los esfuerzos cortantes. El rasante, además de estar ligado con la variación de tensiones normales, está ligado al valor del cortante en la fibra estudiada. Si recordamos, en régimen elástico:
Figura 14. Distribución de tensiones tangenciales y de rasante producidos por el cortante y la variación de momento entre ambas secciones en régimen elástico
Vamos a ver cómo se considera la interacción momento-cortante en secciones plastificadas. El Eurocódigo EN 1993-1-1 dice lo siguiente:
Figura 15. Interacción momento-cortante según EN 1993-1-1
Recordamos que el cálculo de la resistencia plástica de una sección se calcula según la sección §6.2.5 del EN 1993-1-1 para el momento y §6.2.6 para el cortante:
Figura 16. Cálculo momento plástico resistente según EN 1993-1-1
Figura 17. Cálculo cortante plástico resistente según EN 1993-1-1
Es decir, mirando a las fórmulas de interacción momento plástico-cortante plástico:
· Cuando el cortante actuante es menor o igual a la mitad del cortante resistente plástico, no hay que reducir la resistencia a momento. Para estos valores del cortante actuante, una misma fibra puede plastificar por momento y seguir resistiendo un cierto cortante
· Cuando el cortante es igual al cortante resistente plástico, la sección no puede resistir ningún momento
· Entre medias, se debe tener en cuenta una fuerte reducción de la resistencia del acero para resistir el momento
Es importante recordar que esta reducción de la resistencia del material a resistir momento en la presencia del cortante ha de hacerse solo en el área usada para resistir el cortante, no en toda el área de la sección. El área para resistir cortante depende de la sección, por ejemplo, en secciones en I, se excluye la parte de las alas que no forman parte del alma.
El factor de reducción de la resistencia del material a momento se puede representar en la gráfica siguiente:
Figura 18. Interacción cortante-momento plástico EN 1993-1-1
Es importante recalcar que este criterio del EN 1993-1-1 de interacción entre el cortante plástico y el momento plástico para valores de cortante bajos excede el valor límite de Von Mises. Recordamos que este viene definido en la sección §6.2.1 del EN 1993-1-1:
Figura 19. Criterio de plastificación de Von-Mises según EN 1993-1-1
La siguiente gráfica compara el factor de reducción que indica el Eurocódigo EN 1993-1-1 y el que obtendríamos con Von Mises:
Figura 20. Comparación interacción cortante-momento plástico y criterio de Von Mises EN 1993-1-1
Es decir, en régimen plástico, la norma EN 1993-1-1 permite una interacción cortante/momento incluso para estados tensionales donde la sección ha plastificado completamente debido al momento y, a su vez, este criterio de interacción difiere ligeramente del criterio de Von Mises. Estas formulaciones de la norma nos confirman que el diagrama bilineal recomendado por el EN 1993-1-1 y usado en nuestro modelo de elementos finitos resulta conservador en ciertos rangos y podría significar que en las secciones plastificadas de nuestro modelo, el rasante fuera mayor que el obtenido. La sección puede soportar concomitancias de momento-cortante por encima del límite de plastificación de Von-Mises y, por lo tanto, presentar rasantes a pesar de haber plastificado bajo momentos.
Enfoque de cálculo
De forma general se recomienda, para los casos donde el régimen elástico no es aplicable, como en el hormigón o en estructuras de acero que han plastificado localmente, en vez de estudiar tramos diferenciales de viga, estudiar tramos de viga. Se escogerán tramos entre puntos donde el momento es máximo y donde es mínimo del mismo signo. La imagen siguiente muestra estos tramos:
Figura 21. Tramos de cálculo para evaluación del rasaste
Después el ingeniero tiene que elegir si realizar un reparto uniforme en el tramo o adaptarlo siguiendo la distribución de la ley de cortantes.
Sin embargo, hemos visto que en el cálculo con el modelo de elementos finitos, para ciertas zonas, el cálculo del rasante obtenido es mayor que el que obtendríamos en un cálculo elástico típico.
Conclusiones
Se observan los siguientes puntos:
· El comportamiento del rasante en secciones donde alguna fibra ha plastificado es totalmente diferente al calculado con la fórmula elástica de Collignon
· El modelo de elementos finitos, usando una ley del material bilineal elástica-perfectamente plástica muestra un rasante casi nulo en las fibras que han plastificado por tensiones normales
· Sin embargo, el rasante en fibras no plastificadas en secciones donde alguna fibra si ha plastificado muestra rasantes bastante mayores que el que obtendríamos con el cálculo elástico usando la fórmula de Collignon
· Nuestro modelo usa el criterio de Von Mises, por lo que al existir unas tensiones normales σz producidas por la fuerza exterior esto permite aumentar la resistencia de tensiones normales σz o de cortante τ.
· En todo caso, antes de que la sección plastifique en alguna zona, ha tenido que atravesar un estado de tensión elástica completa. Este caso se debe analizar ya que los rasantes seguirán la ley elástica en toda la viga y superarían los obtenidos bajo régimen plástico en ciertas zonas plastificadas
· El Eurocódigo EN 1993-1-1 permite que para valores bajos de cortante, las fibras que han plastificado bajo tensiones normales (momento) puedan resistir también cortantes. Este criterio sobrepasa la tensión máxima admisible de Von Mises
· En cálculos donde hay distribuciones plásticas, como el hormigón o secciones de acero con plastificación parcial, generalmente el cálculo se hace por tramos y no por diferenciales de viga. Los tramos se dividen entre zonas de momento máximo y momento mínimo del mismo signo.
Se recuerda al lector que este artículo está basado en resultados obtenidos bajo ciertas hipótesis y para ciertos casos dados. La persona encargada del cálculo es responsable del mismo, debe comprobar sus hipótesis y contrastar/validar las conclusiones aquí presentadas.
Referencias
[1] Esfuerzo rasante - https://www.prontubeam.com/articulos/2021-02-14-Esfuerzo-rasante
[2] EN 1993-1-1 – Eurocode 3. Design of Steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings
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