Esfuerzo rasante – Ejemplo de cálculo explicado

El esfuerzo rasante aparece cuando entre dos secciones, existe una diferencia de esfuerzos normales producido por una diferencia de momentos. Este esfuerzo rasante R, equilibra dicha diferencia:

Figura 1.Esfuerzo rasante entre dos secciones

En el artículo “Esfuerzo rasante” se explica en detalle como calcular este esfuerzo rasante cuando nos encontramos en estados elásticos. Recordamos que el artículo termina proporcionando la fórmula, llamada fórmula de Collignon, que permite calcular estos esfuerzos rasantes, que está íntimamente relacionada con el cortante y, por ello, con la variación del momento entre dos secciones:

Figura 2.Esfuerzo rasante – fórmula de cálculo

En este artículo vamos a aplicar en detalle, para un ejemplo dado, esta fórmula de Collignon y vamos a hacer el cálculo mediante equilibrio tensional entre dos secciones. Recordamos que en las publicaciones Esfuerzo rasante-Ejemplo de cálculo para carga puntual y Esfuerzo rasante-Ejemplo de cálculo para carga distribuida explicamos brevemente también con ejemplos como calcular este rasante usando tanto la fórmula de arriba como realizando el equilibrio entre dos secciones dadas.

Por ejemplo, en este artículo, vamos a demostrar el cálculo del rasante en una viga simplemente apoyada con carga  distribuida entre dos secciones A-A’. Su ley de cortante y momentos será la siguiente con los valores en A y A’ que se muestran a continuación:

Figura 3.Ley de momentos y cortantes en una viga simplemente apoyada bajo carga uniforme

Primero realizamos el cálculo mediante equilibrio de tensiones normales entre ambas secciones. En la siguiente imagen se presenta la distribución elástica de esfuerzos normales en nuestras secciones A y A’. Vamos a calcular por ejemplo el rasante a una distancia h/4 del centro de nuestra sección entre las secciones A y A’:

Figura 4.Distribución de tensiones normales producidas por el momento en ambas secciones

Los valores N₁ y N₂ que son las integrales de los esfuerzos normales entre la fibra superior a una distancia h/2 y la fibra a una distancia de h/4 que es donde vamos a calcular el rasante, se calculan así:

El esfuerzo rasante R será la diferencia entre N₁ y N₂ dividido por la distancia entre las secciones A y A’ que en nuestro ejemplo es L/4:

Vemos que las unidades son N/m porque solo hemos dividido entre la distancia entre las dos secciones. Si dividimos también entre el ancho b de nuestra sección obtendríamos unidades de N/m².

Ahora realizamos el cálculo usando la fórmula de Collignon que hemos presentando al comienzo del artículo que nos permite calcular el esfuerzo rasante en una sección dada en función del cortante:

Recordamos que V es el cortante en la sección y S es el primer momento del área que se calcula como el área entre la fibra superior y la fibra de cálculo del rasante por la distancia entre el centro de la sección y el centro de dicha área.

Tenemos el rasante en ambas secciones A y A’, en unidades de N/m. Si dividimos entre el ancho de la viga obtendríamos unidades de N/m². Como vemos ninguno de estos dos valores coincide con el valor calculado a mano. Esto es porque el cálculo realizado a mano es “un promedio” de los esfuerzos rasantes entre A y A’, como si este esfuerzo fuera constante entre ambas secciones. En realidad este esfuerzo rasante no es constante, depende del cortante en cada punto entre A y A’ y tiene un valor de N/m distinto que es el calculado con la fórmula de Collignon presentada arriba en cada punto. Si hacemos la media entre el rasante R_A y R_A’, vemos que esta vez si obtenemos lo mismo que en el cálculo de equilibrio entre secciones:

En importante entender qué nos está indicando el resultado de la fórmula de Collignon de arriba. Es un valor del rasante en N/m (fuerza por metro de longitud de la viga) pero que se produce en una rebanada de longitud diferencial. Un diferencial de rebanada más a la derecha o más a la izquierda nos daría un resultado distinto. Para que lo entendamos, el esfuerzo de cortante en una sección tiene la siguiente distribución y valor para una posición de la fibra donde lo calculo:

Figura 5.Distribución de tensiones tangenciales producidas por el cortante

Si analizamos entre dos secciones de la viga el cortante en cada sección y el rasante a una altura dada, tenemos lo siguiente:

Figura 6.Distribución de tensiones tangenciales y de rasante producidas por el cortante y la variación de momento entre ambas secciones

Como hemos visto, el rasante en cada punto depende del valor del cortante en cada punto por lo que la ley de rasantes tendrá la misma forma que la ley de cortantes. Como vemos en la siguiente imagen, todo está relacionado. Hay que recordar que cuando hacemos el cálculo de R como la diferencia entre N₁ y N₂ entre A y A’ nos da el mismo valor R que si hacemos la integral de los esfuerzos rasantes de la ley presentada abajo a la derecha. Es decir, que (N₁-N₂)/L es una media de los valores del rasante de la ley de rasantes:

Figura 7.Leyes de momentos y cortantes y distribución de tensiones normales, tangenciales y de rasante producidas por el cortante y la variación de momento entre ambas secciones

Es importante recordar que todo el desarrollo es válido en régimen elástico ya que todas las distribuciones presentadas en el artículo son elásticas y la formula de Collignon está fundamentada en las ecuaciones del equilibrio elástico.

Referencias

[1] Esfuerzo rasante - https://www.prontubeam.com/articulos/2021-02-14-Esfuerzo-rasante