STAY TUNED! Caracterización dinámica de voladizo con TMD (I)

Un gran atractivo del Centro Botín, es la vista de la bahía desde su voladizo, si es que no se tiene la oportunidad de acceder a su interior o azotea. 

Ilustración 1. Vista del voladizo de estudio desde nivel de voladizo y nivel de calle.

A pesar de la aparente sencillez de la estructura, el estudio de su comportamiento dinámico merecerá al menos un artículo. El estudio partirá de datos tomados en campo, se continuará con el análisis de estos y se finalizará por unas conclusiones.

Estudio de campo

1.    Geometría

Se toman mediciones en campo recurriendo al Sistema Imperial. El voladizo tiene 30 pies de largo por 7 de ancho, 9 por 2.10 metros tras la conversión al S.I.

Desde la parte inferior del voladizo, se aprecian dos vigas tipo I, de canto variable. Por proporción con la barandilla, el empotramiento se estima un canto no menor de 60 cm. En la punta el voladizo tendrá un canto de 20-30 cm.

2.    Medición de aceleraciones

Se desaloja el voladizo o se acude a una hora no frecuentada. Se dispone el acelerómetro en el suelo y se espera a que la señal se estabilice.

Se excita la estructura mediante impactos. Los impactos se corresponden con la caída de una masa de 90 kilos situada a 10 centímetros de altura. Se realizan 3 impactos.

3.    Toma de fotografías

Se toman unas fotos que sirvan de soporte.

Trabajo de gabinete

Se vuelcan los datos a una hoja de cálculo. En la Figura 1 se indican las aceleraciones verticales registradas durante los 17 segundos de ensayo dinámico.

Los datos graficados se corresponden con 3444 pares de valores aceleración-tiempo, lo que resulta aproximadamente en 202 mediciones por segundo o 1 medición cada 4.9 milisegundos.

Figura 1. Registro de aceleraciones vertical z (m/s^2)

Parámetros útiles para todo análisis o caracterización dinámica son el coeficiente de amortiguamiento, período, frecuencia angular y cíclica:

Figura 2. Relación entre parámetros.

Donde:

ζ: Coeficiente de amortiguamiento. Valores mayores a la unidad se asocian a sistemas sobreamortiguados, menor a la unidad para inframortiguados y unidad para amortiguamiento crítico. Usualmente se convierte a %.

δ: Decremento logaritmico. Logaritmo natural del desplazamiento en un tiempo dado entre el desplazamiento experimentado a un número entero de períodos, entre el número de períodos del intervalo tomado.

Td: Período amortiguado (s).

ωd: Frecuencia angular amortiguada (rad/s).

T: Período (s).

ω: Frecuencia angular (rad/s).

f: Frecuencia cíclica (Hz).

Con tan sólo las relaciones indicadas de la Figura 2 se podrá hacer una caracterización y análisis dinámico muy acertado.

1.    Preproceso

Para el empleo del método del decremento logarítmico se emplean registros de desplazamientos, no aceleraciones. Dado que los datos registrados son aceleraciones se pasa a justificar su validez.

Se toma el oscilador armónico para formular matemáticamente la evolución del desplazamiento en punta del voladizo en el tiempo:

A los valores de tiempo t y t+∆t le corresponden un valor del desplazamiento en punta y(t) e y(t+∆t) concretos.

Derivando doblemente respecto de la frecuencia angular se obtiene la aceleración:

La relación entre desplazamientos y aceleraciones entre dos tiempos separados un  son iguales, por lo que a efectos del empleo de la fórmula del decremento logarítmico resulta irrelevante si usar desplazamientos o aceleraciones.

Siendo estrictamente rigurosos en vez de emplear la fórmula de un oscilador armónico de un grado de libertar sin amortiguar sometido a una carga armónica se debería emplear un oscilador armónico de un grado de libertad con amortiguamiento sometido a una carga impulsiva unitaria. En cualquier caso, el procedimiento es análogo, algo más laborioso y ratifica lo ya expuesto.

2.    Proceso

Dado que se tienen todos los valores del registro se discriminan los 5 primeros valles de cada uno de los 3 impactos:

Figura 3. Aceleraciones máximas en valle.

Los valores marcados se corresponden con los pares de valores tiempo – aceleración tabulados en la Tabla 1. Lo que en última instancia se pretende es obtener la curva del decrecimiento, pintada de forma aproximada con trazo punteado en Figura 4.

Tabla 1. Pares tiempo – aceleraciones mínimas/máximas

Como se observa el perfil de aceleraciones es muy similar entre todos los impactos, lo que indica que la energía entre impactos era muy similar y que no hubo otra acción parásita que perturbase la recogida de datos.

Figura 4. Envolvente aproximada de aceleraciones verticales

3.    Postproceso

Obtenidos los puntos de interés se continua con el cálculo del decremento logarítmico, coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia de la estructura. Se emplean las fórmulas indicadas en la Figura 2.

Tabla 2. Cálculo de parámetros de estudio

Obtenidos los parámetros característicos, es adecuado compararlos con los indicados en normativas e instrucciones, no sólo por ver si están dentro o no de los valores límite, sino porque resulta interesante ver dónde se encuentra la estructura respecto de los valores referencia. Dada la singularidad de la estructura se considera apropiado a recurrir a apartados de normativa de instrucciones más relacionadas con estructuras como puentes y pasarelas que con forjados de edificación.

Tabla 3. Algunas referencias normativas consultadas

No parece casualidad que el voladizo requiera de verificaciones a causa de su baja frecuencia natural y altas aceleraciones verticales, pero como contraparte tenga un notable amortiguamiento (por comparación con el valor de la IAP-11). Lo segundo parece resultado de lo primero.

Aprovechando el registro de períodos Td se grafican los valores por orden cronológico:

 Figura 5. Fluctuación del período.

Los valores no se acomodan en una distribución normal en torno a una media, si no que van oscilando y variando en el tiempo de modo claro.

Se sabe que el período es el inverso de la frecuencia cíclica. La frecuencia cíclica es directamente proporcional a la angular. La angular está inversamente relacionada con la masa y directamente relacionada con la rigidez del sistema.

¿Quiere decir que la masa excitada varía a cada oscilación?, ¿Lo hace la rigidez?

4.    La solución

La respuesta a la pregunta anterior es un sí (a medias). La forma de compensar una baja frecuencia y unas no tan bajas aceleraciones verticales fue instalar un TMD (tuned mass dumper) en la punta del voladizo. Un TMD se reduce una masa sujeta a una estructura principal mediante unos muelles o resortes. La cantidad de movimiento del impacto es transferida a la masa del TMD, ésta se excita armónicamente, se acelera y se desplaza oponiéndose al desplazamiento natural del voladizo.

Figura 6. TMD situado en la punta del voladizo.

Esto genera que las aceleraciones netas decrezcan rápidamente, o expresado de otro modo, la estructura amortigüe rápidamente las vibraciones a pesar de que sean importantes.

En La correcta proporción entre rigideces y masas del tuned mass dumper respecto del resto del sistema reside la eficacia del TMD. Este será el núcleo de un segundo artículo, en el que se planteará, desde cero, con sumas y restas y recurriendo a los fundamentos básicos de física la demostración y elección de un TMD. Para un análisis "exacto" de la frecuencia fundamental y armónicos es necesario recurrir a la transformada rápida de Fourier. La aplicación de la FFT queda reservada para la segunda parte del artículo.

Podéis aprender también sobre amortiguadores TMD en nuestro artículo de Control de las vibraciones en estructuras con un vídeo explicativo.

Referencias