El empotramiento perfecto no existe – Y menos en hormigón

Hace tiempo leí un interesante artículo sobre por qué usamos la inercia bruta de las secciones y no la fisurada o la homogénea. El articulo concluía que, en el fondo, no hay tanta diferencia para el caso de edificación, además de que los valores obtenidos con la inercia bruta estaban entre medias de la fisurada y la homogeneizada. La fisuración de las piezas de hormigón es un tema complicado y que se tiende a dejar de lado (el EC-2 permite hacer cálculos lineales). Muchas veces nos preguntamos como de real es en la realidad los empotramientos entre piezas o incluso la clásica viga biempotrada. Vamos a comprobar, mediante un cálculo no lineal, cómo varían los momentos en una viga biempotrada a medida que se fisura.

Según van incrementando los esfuerzos, en el hormigón empiezan a aparecer fisuras que hace que la inercia de nuestra sección vaya cambiando según esta inercia fisurada y que ciertas condiciones de empotramiento (bloqueo del giro) vayan relajándose. Vemos como de importantes son estos cambios. Para ello, hemos realizado un modelo de elementos finitos de tipo volumen (SOLID65) en Ansys y hemos aplicado leyes de materiales no lineales, tanto en hormigón como en acero. En el hormigón se ha tenido en cuenta la posibilidad de fisurar y de fallar localmente en compresión.

Presentación del modelo

Se trata de una viga hormigón armado de 0.4mx0.4m, de 5m de longitud armado con 3C25 en la parte inferior y 3C25 en la parte superior. Hemos usado armados importantes, se trata de un ejemplo solo.

Figura 1. Modelo – Viga biempotrada con varga lineal uniformemente distribuida en su cara superior 

Se ha modelado el hormigón mediante elementos de Ansys SOLID65 y el armado mediante LINK180. El mallado tiene un tamaño de 50mm (lado del SOLID65 y longitud del LINK180). Los nodos de las armaduras y los de los elementos esta unidos mediante ecuaciones de ligadura (constraint equations, con el comando CEINTF de Ansys):

Figura 2. Modelo – Mallado del modelo 

Se ha usado un hormigón no lineal. Su comportamiento a compresión se muestra en la figura de abajo:

Figura 3. Hormigón – Curva Tensión-Deformación en compresión 

A tracción se le ha dotado de una resistencia de 2.9MPa, según el EC-2 para un hormigón de fck=30MPa y un módulo de elasticidad 29250MPa. Se ha definido un material de tipo CONCRETE (de Ansys), con la siguiente línea de comando: TBDATA,1,0.3,0.8,2.9,30 que define la capacidad de transmitir cortante cuando fisura (los valores 0.3 y 0.8) y su resistencia a tracción y compresión (valores 2.9MPa y 30MPa) para fisuración (cracking) y fallo local por compresión (local crushing).

El acero tiene un comportamiento bilineal isótropo con un límite de plastificación de 500MPa con un módulo de Young de 200000MPa y un módulo tangente de 2100MPa como se muestra en la siguiente figura

Figura 4. Acero – Curva Tensión-Deformación

Se le ha aplicado una carga uniformemente distribuida en su cara superior y se ha incrementado estudiando las diferentes leyes de momentos en función del estado de fisuración de las distintas partes de la viga. Hemos ido incrementando la carga total de 0kN a 160kN (de 0kN/m a 32kN/m si la convertimos en lineal teniendo en cuenta que es una carga en los 5m de vano).

Momento de fisuración esperado

Nos interesa saber también en qué momento va a fisurar nuestra pieza. Vamos calcular el momento de fisuración con la siguiente fórmula. Es una fórmula simplificada ya que no se tiene en cuenta las armaduras, pero nos servirá como valor de referencia aproximado:

Mfis=fctm*Inercia/(h/2)= 30.9kNm

Donde la inercia se ha calculado de forma simplificada como inercia bruta (b/h^3/12) y fctm igual a 2.9Mpa como hemos mencionado con anterioridad siguiendo el EC-2.

Validación del modelo

Lo primero que hacemos es validar nuestro modelo. Es decir, aplicamos una carga pequeña (67.6kN en total, es decir 13.5kN/m), que sabemos que no va a fisurar y la comparamos con el resultado analítico esperado. El cálculo analítico se ha hecho usando la herramienta de cálculo online de Prontubeam. Como muestra la siguiente figura los dos resultados coinciden perfectamente. Mostramos también los momentos de fisuración en amarillo, que son interesantes:

Figura 5. Diagrama de momentos – Resultado analítico (línea discontinua) – Resultado Ansys (línea continua) – Antes de fisuración 

Con esto validamos el comportamiento de nuestro modelo antes de fisurar.

Fisuración de los extremos – Repartos de momento

Aumentamos la carga hasta que empiezan a fisurar los dos extremos, en la zona del empotramiento. Nos encontramos bajo una carga total de 91.8kN, es decir, de 18.3kN/m. Le pedimos a Ansys que nos muestre las zonas que han empezado a fisurar:

Figura 6. Estado de fisuración – Fisuración en los empotramientos - Carga de 18.3kN/m 

Bajo esta carga mostramos de nuevo tanto el diagrama de momentos analítico calculado a mano como el real, el que obtenemos del cálculo de Ansys con la sección fisurada. Vemos que el teórico ya ha superado el momento de fisuración en los lados, confirmando lo que nos muestra Ansys.

Figura 7. Diagrama de momentos – Resultado analítico (línea discontinua) – Resultado Ansys (línea continua) – Fisuración en los empotramientos 

Vemos que la curva empieza a desplazarse hacia abajo, los momentos de empotramiento disminuyen haciendo aumentar los momentos positivos en el centro del vano. El momento teórico en centro de vano es de 19.12kN.m frente a 29.2kN.m calculado en Ansys, es decir un 52% más de momento en el centro del vano. Recordamos que esto es un cálculo para un armado dado. Este valor sería diferente si la viga, en vez de 3C25 tuviera 3C16, obteniendo probablemente incluso unas pérdidas de rigidez mayores en los lados.

Comienzo de fisuración en centro de vano

Seguimos aumentando la carga hasta 121kN totales, 24.2kN/m distribuida. Según nuestro cálculo a mano, nuestra viga solo debería de fisurar en la parte de momentos negativos, en los dos extremos. Sin embargo, no parece que sea la realidad:

Figura 8. Diagrama de momentos – Resultado analítico (línea discontinua) – Resultado Ansys (línea continua) – Comienzo de fisuración en el centro

Vemos que la fisura en los extremos sigue presente y que, además, por esta distribución ha empezado a fisurar el centro de vano.

Figura 9. Estado de fisuración – Comienzo de fisuración en el centro - Carga de 24.2kN/m 

Nos encontramos que nuestro momento en el centro de vano no es los 25.2 kNm teóricos calculados a mano, si no 39.1kN.m, es decir un 55% de incremento.

Vamos a aumentar la carga hasta 139kN (27.8kN/m) para ver la evolución (todavía estaríamos lejos de la rotura de la pieza a flexión).

Figura 10. Diagrama de momentos – Resultado analítico (línea discontinua) – Resultado Ansys (línea continua) – Continuación de fisuración en el centro

Seguimos viendo un comportamiento similar al del caso anterior caso pero vamos a ver algo interesante. En vez de los 28.9kN.m teóricos hemos obtenido un momento en centro de vano de 38.4kN.m, esta vez significa un aumento de 32.8%, inferior al 50% obtenido en los casos anteriores.

Comportamiento antes de rotura

Como último paso, llevamos la viga a su límite, aumentamos la carga hasta que el cálculo no converge. Vemos que se produce bajo 280.2kN (56kN/m). Una viga de estas propiedades tiene un momento resistente ultimo (sin considerar coeficientes de minoración de aproximadamente 100kN.m (calculado con la herramienta online de Diagrama de interacción de Prontubeam). Como muestra la siguiente imagen, este valor coincide casi exactamente con el valor obtenido en Ansys:    

Figura 11. Diagrama de momentos – Resultado analítico (línea discontinua) – Resultado Ansys (línea continua) – Carga de rotura

Vemos que en momento de ruptura la curvas siguen difiriendo. Nuestro calculo teórico hubiera dado 58.37kN frente a los 75.2kN.m que muestra el cálculo no lineal, es decir un incremento del 28.8%.

Muestro el interesante estado de fisuración al que ha llegado la pieza bajo este estado de cargas. Vemos que en la zona de momentos positivos han aparecido otras nuevas zonas de fisuras, a unos 250mm de zona no fisurada a zona no fisurada y 500mm entre centros aproximadamente. ¿Tendrá este valor relación con la distancia media entre fisuras (sm) del EC-2? Dejamos la pregunta abierta ya que no forma parte de este artículo.

Figura 12. Estado de fisuración – Nuevas fisuras en centro de vano - Carga de rotura 

Conclusión

Como hemos podido comprobar, para estados limite últimos, donde los materiales llegan a sus límites, el hormigón ha fisurado, considerar que existen los empotramientos perfectos no coincide con la realidad y además puede llevar a una distribución de momentos que haga que no estemos en seguridad. Esto es solo un ejemplo para un caso determinado bajo unas condiciones determinadas. Los resultados podrían variar en otros casos. Para estados de carga donde no se ha producido la fisuración el cálculo analítico y el obtenido con Ansys condicen a la perfección.

No hay que olvidar que en este caso se han modelado dos empotramientos perfectos. A la perdida por la fisuración se debe añadir que el elemento al cual se conecta nuestra viga puede experimentar deformaciones y perdidas de rigidez semejantes.