Deformación plana – Tensión plana. Elasticidad bidimensional
En este artículo vamos a tratar la diferencia entre deformación plana y
tensión plana, que son los dos estados de carga principales de la elasticidad bidimensional. Lo mejor
para entender cada caso es ver varios ejemplos de cada uno y estudiar el tensor
de tensiones y el tensor de deformaciones de cada uno.
Hay unas características comunes a ambos
casos:
Características comunes
Tanto la deformación plana como la tensión
plana comparten las siguientes características comunes:
·
Geometría:
contenida en un plano XY y proyectada en una generatriz paralela al eje Z
·
Cargas:
Se encuentran actuando en la superficie y comprendidas en el plano XY. De este
modo para definirlas se usan las coordenadas X e Y, (la Z no se usa, no depende
de ella). Esto nos lleva a tener un
problema bidimensional
Deformación plana
Hay unas características comunes que definen
la deformación plana.
Características:
Ø La dirección Z es muy grande con
respecto a las otras medidas (relativo)
Ø No aparecen deformaciones según
la dirección Z (a lo largo de la pieza), tampoco deformaciones angulares gamma
xz ni yz
Vamos a ver algún ejemplo donde se vean
claras estas características:
Túnel:
-
Vemos que la dimensión en dirección Z, la longitud del túnel, es muy grande comparado con las otras.
-
En dirección Z no puede haber deformación, tampoco deformaciones
angulares gamma xz ni yz.
-
Ojo, en cuanto a las tensiones, si pueden aparecer tensiones por el efecto
poisson. Las tensiones quedan definidas por el tensor de tensiones (definido
más adelante).
Figura 1 Ejemplo de deformación plana – Túnel
Para modelar los casos de
elasticidad plana, basta con definir una sección y aplicar las cargas
contenidas en esa sección (además de elegir los elementos correctos –
Elasticidad bidimensional, deformación plana). En la siguiente imagen mostramos
un ejemplo del modelo de un túnel:
Figura 2 Modelado de la sección de un túnel con CivilFEM
– Deformación plana
Presa:
Una presa también es un buen ejemplo de
deformación plana. Cumple las mismas características que en el caso del túnel. No hay deformada en la dirección longitudinal
ni las deformaciones angulares antes mencionadas y la dirección según Z (largo
de la presa) es más grande que las otras dos dimensiones. Como vemos podríamos
estudiar una sección de longitud unidad que representaría el total de la presa.
Figura 3 Ejemplo de deformación plana - Presa
Mostramos ahora el tensor de tensiones y el
de deformaciones.
Como hemos dicho, la deformación según Z es nula
pero sin embargo, la tensión en dirección Z no lo es y además depende del
módulo de poisson (ν). Ambas quedan relacionadas de
la siguiente manera:
Tensión plana
De nuevo presentamos las características
comunes y posteriormente algún ejemplo explicativo.
Características:
Ø La dirección Z es muy pequeña
con respecto a las otras medidas (relativo)
Ø Ahora aparecen deformaciones
según la dirección Z (a lo largo de la pieza) pero no tensiones según esta dirección (ver tensor de tensiones
y deformaciones más adelante para comprobarlo)
El ejemplo más típico es el de la placa de
espesor delgado:
Placa de espesor delgado con agujero:
-
Vemos que la dimensión en dirección Z es muy pequeña en comparación de
las otras dimensiones
-
Aparecen tensiones en dirección X, tensiones en Y (alrededor del
agujero de la placa) y tensiones tangenciales ζXY, pero no
podemos tener tensiones en Z ni ζXZ ni ζYZ.
-
Aunque no pueden aparecer tensiones en dirección Z generalmente
tendremos deformadas en esta dirección.
Figura 4 Ejemplo de tensión plana – Placa delgada
Otro ejemplo de tensión plana:
Deposito con presión interna:
Aunque aparentemente las cargas son
perpendiculares, todas las tensiones están contenidas en el plano de la pared
del tanque. Cuando se somete al depósito a presión interna aparecen tensiones
de membrana, tensiones de tracción que se encuentran contenidas en el plano de
la pared del depósito. El espesor del tanque es mucho más pequeño que las otras
dos dimensiones del mismo.
Figura 5 Ejemplo de tensión plana – Depósito a presión
Vamos a ver el tensor de tensiones y de deformaciones y comprobamos lo que
ya hemos comentado.
Como hemos dicho antes, sabemos que las
deformaciones no son nulas en Z, que vuelven a estar relacionadas con el módulo
de poisson y las tensiones en las otras dos dirección. Vienen dadas por:
Espero que con este sencillo ejemplo hayan
quedado un poco más claras las diferencias entre tensión plana y deformación
plana, siendo ambos dos estados pertenecientes a la elasticidad bidimensional.