SONIDO DE UNA CUERDA DE GUITARRA – FRECUENCIAS DE VIBRACIÓN

Sonido de una Cuerda de guitarra – frecuencias de vibración

¿Cuántas veces te has preguntado por qué las cuerdas de guitarra suenan distinto? Hay varios motivos, como por ejemplo el material, pero no es el único. Todos sabemos que para afinar una guitarra hacemos girar unas clavijas situadas en la parte superior de la misma (llamado también clavijero). ¿Samos por qué hacemos eso? Vamos a verlo.

Cuando hacemos girar la clavija de la guitarra asociada a una cuerda, estamos sometiéndola a un desplazamiento impuesto que produce una tensión. Cuanto la sometemos a esta tensión lo que estamos haciendo es, en realidad, cambiar su matriz de rigidez y por lo tanto su frecuencia de vibración, que está totalmente relacionada con el sonido que emite. Podemos ver en cualquier página de música a que frecuencia vibra cada cuerda para emitir cada nota en particular.

En este caso, supongamos que queremos hacer vibrar un cable de acero a 450Hz. Este problema se puede abordar fácilmente mediante el principio de los trabajos virtuales (PTV) que se trata en literatura especializada sobre el tema (análisis dinámico). En este caso vamos a utilizar un programa de cálculo, particularmente Ansys, para estudiar la variación de la frecuencia de una cuerda en función de la tensión a la que está sometida, o lo que es lo mismo, en función del movimiento impuesto introducido, así podremos saber cuánto hay que girar la clavija.

Damos los valores de partida:

Input data

Longitud del cable: 0.6 metros

Diámetro del cable: 0.5 milímetros

Propiedades de los materiales:

                E=2.1e11 (Pa) Módulo de Young

                Módulo de Poisson: 0.3

                Densidad del acero: 7800kg/m3

Condiciones de contorno: Un extremo con todos sus grados de libertad bloqueados

Ya estamos lanzados a calcular lo que buscamos. Comenzamos con la geometría. Modelamos  la cuerda con Design Modeler, practicamos a convertirla a elemento beam con Spaceclaim y de vuelta a Design Modeler le damos la sección que queremos (cross section). Para el material hacemos un pequeño cambio al acero que viene por defecto en la librería y le ponemos el módulo que tenemos en el input data.

Vamos a realizar un cálculo estático, donde aplicaremos el desplazamiento impuesto y a este le asociamos un cálculo modal, que nos va a permitir calcular el modal teniendo en cuenta está tensión inicial introducida asociada al desplazamiento impuesto.

Figure 1. Cálculos a realizar

Vamos a comenzar viendo cual es la frecuencia de vibración de una cuerda sin estirar, es decir, una situación inicial con un desplazamiento de 0mm.

Figure 2. Primer modo de vibración. Frecuencia de vibración para la situación inicial (0mm de desplazamiento)

Si nos fijamos en la parte superior, la frecuencia de vibración del primer modo es de 4.4Hz.

Ahora la pregunta - ¿Aflojamos o estiramos la cuerda? Estiramos. Cuando introducimos una tensión en un cable lo que estamos haciendo es añadir un término a la matriz de rigidez correspondiente, a este término adicional se le llama “rigidez geométrica”. De forma semejante podemos pensar en el pandeo producido por una compresión que introduce un término geométrico restando en la matriz de rigidez que lleva a una pérdida de rigidez.

Para obtener la frecuencia pedida vamos a tantear con 1mm de desplazamiento. Hacemos el cálculo estático, aplicamos el modal con el “pre-stress” y vemos los modos de vibración. En la siguiente imagen vemos que para 1mm de desplazamiento obtenemos 176Hz. No está mal… pero no es la solución.

Figure 3. Primer modo de vibración. Frecuencia de vibración para 2mm de desplazamiento

Siguiendo la idea de estirar, vamos a darle otro estirón a la cuerda de 1mm tal que la hayamos estirado un total de 2mm. Miramos en los resultados de desplazamientos que efectivamente  le estamos dando este desplazamiento y no otro (vemos que en el extremo se desplaza 2mm).

 Figure 4. Desplazamiento impuesto

Y con ello, de la misma manera, su frecuencia de vibración asociada al primer modo es 249HZ

Ya es cuestión de tantear un poco más y obtenemos el valor. Resumimos los resultados:

0mm –> 7.4 Hz

1mm –>176 Hz

2mm –> 249

4mm –> 353 Hz

6mm –> 431Hz

6.5mm –> 449.5Hz

Aceptamos 449.5Hz suficientemente cerca de 450 Hz y cerramos con 6.5mm. ¡Pues ya sabemos cuánto hay que estirar la cuerda para que vibre a 450 Hz!

Vamos a hacer una última cosilla para comprobar resultados. Calculamos que fuerza sería necesaria para provocar estos 6.5mm de desplazamiento, la aplicamos en Ansys y comprobamos a que frecuencia vibra la cuerda.

Aplicamos estos 446.69 N en la cuerda y vemos que ocurre. ¡Muy bien! Vemos que la cuerda se desplaza los 6.5mm que esperábamos y que además vibra a 449.6Hz.

Terminamos enseñando los demás modos de vibración de la cuerda y sus frecuencias asociadas:

Espero que os haya gustado esta sencilla explicación sobre la vibración de una cuerda de guitarra y como aplicando desplazamientos en su extremo conseguimos variar su frecuencia.

Como curiosidad termino diciendo que a veces para asegurar que los tendones de los puentes se han tesado de forma correcta, se hace vibrar el cable y se comprueba que vibra a una frecuencia asociada a la tensión a la que queríamos tesarlo.