En este primer (espero que de muchos) artículo que escribo, quiero exponer brevemente una serie de ideas que a mi juicio deberían ser cuanto menos reflexionadas por todos aquellos ingenieros que se dedican al cálculo y diseño de estructuras y que por tanto trabajan a diario con modelos de elementos finitos, si bien muchas de ellas pueden ser extrapoladas a otras ramas de la ingeniería y ciencia.

No existe error mayor en la ciencia que cree que,

sólo porque un cálculo matemático se ha completado,

existe certidumbre sobre un aspecto de la naturaleza

Alfred North Whitehead

Existe una costumbre, creo que bastante extendida, de confundir los modelos o peor aún el único modelo que se hace de una estructura con la realidad y de utilizar como cajas negras los programas de cálculo sin el menor espíritu escéptico sobre los resultados del mismo.

Un primer punto a plantearse aquí es, ¿qué es un modelo en ingeniería?

Según la cuarta acepción de la RAE: “Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento”

Existe aquí una frase que me gustaría resaltar: esquema teórico de una realidad compleja. Es decir, nuestro modelo es una simplificación de la misma que se centra en estudiar únicamente alguna de sus propiedades, obviando muchas otras. Más aún, es probable que aquellas propiedades que estemos estudiando se desarrollen en realidad de una manera más complicada de la que nosotros modelizamos.

Vayamos un paso más allá y pensemos las fases por la que ha pasado ese proceso de abstracción que convierte un código de ordenador que tras resolver un sistema de ecuaciones nos da datos acerca de tensiones, deformaciones, frecuencias propias etc. en una realidad física que ha de permanecer impasible durante su vida útil resistiendo aquellos fenómenos que sobre ella sobrevengan.

Por claridad, no obstante, creo que se ve mejor si planteamos el proceso inverso:

·         Conversión de una realidad física en un modelo matemático

Este primer paso a su vez se puede dividir a mi juicio en otros tres:

i)                    Observación de la realidad de aquellas propiedades que nos interesan para analizar el fenómeno resistente:

Aunque existen muchísimos textos que tratan sobre el método científico, creo que no viene de más recordar que estamos abstrayendo aquellas propiedades que creemos que influyen en nuestro cálculo separándonos de “la realidad” por una parte que realizamos un numero de medidas muy limitado, sujetas a error y por otra que realizamos hipótesis simplificadoras sobre las mismas.

Basta por ejemplo mencionar el considerar unas propiedades homogéneas de la materia en nuestra estructura (resistencia, densidad…) en materiales heterogéneos como puede ser el hormigón. Otro ejemplo lo constituyen las acciones que suponemos que van a actuar sobre la estructura, basadas en análisis estadísticos que suponen límites cuya probabilidad de ser rebasados son menores que un cierto valor pero que no somos capaces de predecir con exactitud.

ii)                   El segundo paso consiste en elaborar una teoría matemática que interrelacione los aspectos abstraídos en el punto anterior para con ellos darnos una serie de ecuaciones matemáticas que nos permitan tras resolverlas obtener la información que queremos, en este caso dichas tensiones y desplazamientos.

En este paso se suelen realizar así mismo otras tantas hipótesis que simplifican el problema y de las cuales debemos ser conscientes. Por ejemplo las clásicas de Navier-Bernouilli para vigas o de Love-Kirchhoff para placas.

iii)                 Por último tenemos que “trastear” con las mencionadas propiedades idealizadas para poder aplicarlas a nuestra teoría. Por ejemplo el trabajar con un diagrama de tensión-deformación o unas condiciones de contorno idealizadas (en la mayoría de los casos nuestras estructuran no estarán ni apoyadas ni empotradas, sino en un estado intermedio más próximo a alguno de estas dos situaciones dependiendo del caso).

·         Conversión del modelo matemático en un modelo numérico

Las ecuaciones anteriores (ecuaciones diferenciales en el caso de la teoría de la elasticidad) sólo tienen solución analítica en casos muy simples y concretos y es aquí donde entran en juego los métodos numéricos y por ser el más extendido, el de los elementos finitos.

En este punto creo que también conviene recordar que estamos aproximando  un medio que es continuo (con infinitos puntos) a uno con un número finito de elementos y que a partir de la información obtenida en ese número concreto de puntos, interpolamos lo que ocurre en el resto.

Importante también recalcar que llegado este punto un mal mallado de la estructura conduce irremediablemente a pobres resultados.

Como resultado de esta cantidad de incertidumbres existentes, los diversos códigos que se siguen para el dimensionamiento de estructuras utilizan métodos probabilísticos con objeto de verificar su seguridad. De ellos el más conocido es el de los estados límite en el cual (sin entrar en detalle) se representan unos valores característicos de las acciones que se supone que pueden actuar sobre la estructura y unas resistencias características de las mismas. Posteriormente se aplican coeficientes de minoración de resistencias y mayoración de cargas o bien un factor único de seguridad de reducción de la resistencia y se afirma que la estructura es segura si se cumple que la resistencia de cálculo R_d es mayor o igual que las acciones de cálculo E_d.

Figura 1. Fiabilidad estructural

¿Significa ello que puedo utilizar mi software de cálculo por elementos finitos como una caja negra siempre y cuando siga lo dicho por la normativa?

La respuesta es un tajante NO.

Hemos visto anteriormente que existen muchas incertidumbres acerca del tratar de representar la realidad mediante nuestro modelo estructural, pero si se ha llevado a cabo un buen diseño, una buena modelización de la misma y se han aplicado correctamente los coeficientes de seguridad marcados en la normativa y sus verificaciones, la probabilidad de fallo de la estructura se sitúa dentro de unos límites muy bajos.

El problema viene en que no es fácil realizar una buena modelización y un buen diseño en general requiere pensar mucho las cosas y darle vueltas con el fin de entenderlas bien (y por supuesto experiencia), lo cual no logra un autómata sentando enfrente del ordenador. O mejor expresado por Eduardo Torroja:

“No es, ni con mucho, el complejo y abstruso desarrollo matemático el que puede inducir al espíritu a imaginar la estructura, ni a guiar la mano al trazarla, sino el íntimo sentimiento de sus formas de trabajo, hecho tan propio que llegue a parecer que es la propia persona la que trabaja con aquella y con cada uno de sus elementos como algo vivo y sensitivo”.

Y ahora llegamos por fin a plantearnos aquellas preguntas necesarias pero probablemente no suficientes a la hora de abordar el cálculo estructural por elementos finitos que suele ser el pan de cada día de todo ingeniero estructural:

¿Qué propósito tenemos con el análisis que vamos a realizar?

Puede resultar evidente esta pregunta en muchos casos…dimensionar una estructura que no se caiga y cumpla su servicio optimizando el gasto económico de la misma, los requisitos que nos vengan impuestos, etc., etc. Pero si pensamos más detenidamente veremos que conviene una pequeña reflexión antes de abordar el cálculo de la misma que nos ayude a situarnos donde estamos.

Por ejemplo:

·         ¿Que “precisión” requiere nuestro cálculo?

Estamos en una fase de oferta, de construcción, rehabilitación de la una estructura existente (un análisis “fino” en este caso puede suponer la diferencia entre reforzar la misma o no y por lo tanto tiene una gran repercusión económica)...

·         ¿Cómo de “sensible” es la estructura que estamos dimensionando a los resultados obtenidos del cálculo?

Por ejemplo si estamos dimensionando una pila soporte de un aerogenerador requerimos estimar con gran precisión las frecuencias de vibración de la misma para no entrar en resonancia con las cargas rotativas que en su parte superior actúan.

·         ¿Cómo de “complicada” es nuestra estructura?

Debe reflexionarse antes de atacar la manera de calcular la presencia de posibles singularidades en la misma que nos hagan plantear en análisis de una manera u otra

 ¿Resulta nuestro modelo adecuado para el problema que vamos a tratar?

Hemos visto que nuestro modelo es una representación de la realidad, pero ¿es el tipo de análisis elegido el adecuado para la misma? De un análisis con lápiz y papel muy simplificado a un modelo no lineal con comportamiento plástico, fractura de materiales, etc el abanico es amplio por lo que debe analizarse cuidadosamente si el tipo de análisis es el adecuado. Y es muy recomendable siempre hacer comprobaciones sencillas manuales que nos ayuden a centrar el problema.

Por ejemplo, veamos la diferencia entre realizar un análisis lineal frente a uno no lineal en el siguiente ejemplo:

Análisis lineal

Deformación de la barra:

Axil en la barra:

Fuerza vertical en nudo:

Fuerza aplicada vs desplazamiento:

Análisis no lineal

Deformación de la barra (deformación ingenieril):

Axil en la barra:

Fuerza vertical en el nudo:

Fuerza vertical vs desplazamiento:

Representemos ahora ambos resultados gráficamente con unos valores por ejemplo de E=2.1e5 MPa, A=10 cm², x= 4 m, y=0.4 m

Figura 2. Diferencia análisis lineal (rojo) y no lineal (azul

¿Estamos cubriendo con dicho modelo todas las propiedades que queremos estudiar?

Dependiendo de la complejidad o importancia de nuestra obra es necesario en ocasiones el realizar varios modelos con el objeto de capturar adecuadamente aquellas propiedades que quizá con uno solo no analicemos adecuadamente: quizá deba pensarse el realizar más de un modelo 2D y 3D, con elementos shell o elementos 3D, modelos concretos para estudiar regiones D… por citar algunos ejemplos.

¿Son adecuados los inputs que estamos introduciendo?. ¿Qué incertidumbres tenemos en los mismos?

Se debe reflexionar cuidadosamente los inputs que introducimos: geometría, cargas, condiciones de contorno, etc. ya que de su elección dependerá el valor que pueda tener nuestro output del análisis. Debemos pensar que de nada vale un análisis muy detallado si por ejemplo las condiciones de contorno elegidas no se aproximan a las reales o si por ejemplo las cargas introducidas están excesivamente indefinidas.

¿Existen situaciones que no estamos previendo que podrían influir en nuestro análisis?

Es decir, ¿existen fenómenos que no estamos teniendo en cuenta y que podrían influir decisivamente en el comportamiento de nuestro modelo?

Por ejemplo la retracción en el hormigón, el proceso constructivo seguido con cargas aplicadas a diferentes edades en estructuras mixtas, análisis de pandeo, etc. por citar algunos ejemplos.

¿Son coherentes los resultados obtenidos?

Un punto esencial a la hora de verificar que nuestro modelo es adecuado es sin duda tener un orden de magnitud de los resultados esperados. Por muy complejo que sea el diseño, es probable que podamos hacer simplificaciones que nos ayuden a situar dentro de un cierto intervalo los resultados del análisis.

Quiero mencionar en este punto que la mayoría de los programas de software comerciales suelen lanzar avisos antes de correr los modelos que deben ser tenidos en cuenta y entendidos y en ningún caso pasados por alto a pesar de que nos deje lanzar el cálculo con ellos, ya que es muy probable que sean otro origen de pobres resultados (puede parecer muy obvio pero he encontrado casos en los que no es así).

¿Qué mejoras podemos introducir en nuestro análisis?

Muchas veces uno de nuestro mayores condicionantes es el tiempo que tenemos para entregar los resultados, pero creo que este es un punto importante a plantearnos siempre.

¿Qué limitaciones tiene nuestro análisis?

La última pregunta a modo final es necesaria a la hora de tener presente que (y muy al hilo de la tercera pregunta) nuestro análisis tiene un ámbito de aplicación que debemos conocer. Por ejemplo si hemos hecho un único modelo lineal para dimensionar la armadura longitudinal de un forjado de edificación, es muy probable que no seamos capaces por ejemplo de predecir con una precisión adecuada las flechas del mismo debido que no tenemos en cuenta la variación de inercia debida a la fisuración entre otros fenómenos.

Estas preguntas creo ponen de manifiesto que en primer lugar, el proceso de diseño de una estructura es algo complejo y va más allá de un mero modelo de elementos finitos y en segundo que estos deben estar realizado en todo momento por ingenieros que conozcan perfectamente la herramienta que poseen pero que además tengan amplios conocimientos de cálculo de estructuras, elementos finitos, materiales…

A modo de conclusión me gustaría citar que uno de los motivos que me ha llevado a reflexionar acerca de este tema es el ver como en ocasiones he visto como se consideraba el análisis de una estructura con una mera justificación para salir del paso, sin la menor reflexión de por medio y con el único propósito de llegar a un número sin importar el “valor” (en el sentido de calidad y de cantidad) del mismo.

Por otra parte (y me gustaría abrir un debate sobre este tema) existe una corriente por parte de ciertas empresas de subcontratación de ingeniería de buscar ingenieros de estructuras cuya principal cualidad pedida sea conocer los comandos de un determinado software de cálculo de estructuras dejando en parte de lado su faceta más ingenieril. No es raro ver ofertas de “Ingeniero con Ansys de 6 meses de experiencia” lo cual creo que conduce a un detrimento de calidad y por supuesto de la seguridad.

Para saber más:

·         “Razón y ser de los tipos estructurales”. Torroja Miret, Eduardo.

·         “Fundamentos del análisis no lineal mediante el M.E.F.”. Sancho Aznal, José María.

·         “Caos: una breve introducción”. Smith, Leonard