Este artículo es la traducción (con algo de
interpretación) del inglés al español de una parte un artículo de www.machinedesign.com que he encontrado muy interesante. El artículo
trata sobre las grandes concentraciones que ocurren en las esquinas cuando
realizamos modelos de elementos finitos. Este artículo está algo relacionado
con el artículo “Y DE REPENTE…UN OPENING, ¿QUÉ HAGO?” en el cual se pretende estudiar el efecto producido al realizar un
agujero en un muro modelado con FEM.
Supongamos que realizamos un modelo en el que
tenemos la mencionada “esquina”:
Viendo la anterior imagen parece posible, y
puede que nos llegue a engañar, el resultado obtenido. Parece que 79MPa podría
ser una solución correcta para el valor máximo de tensiones del modelo.
No nos creemos el resultado y realizamos un
mallado más refinado, dando lugar al siguiente modelo:
Si refinamos el mallado alrededor de la esquina
estudiada vemos que obtenemos tensiones mucho mayores. ¿Es este resultado más
realista que el anterior? No
Este caso se da en muchas piezas que se modelan
con FEM para estudiar su comportamiento. Un ejemplo es el siguiente support
bracket:
Vamos a estudiar la convergencia de esta pieza
una vez modelada con FEM. Como vemos en la siguiente imagen, la tensión máxima
principal no muestra ningún signo de convergencia.
Los errores cometidos en el modelado
(simplificación de la realidad) no son siempre despreciables. A menudo nos
llevan a situaciones peligrosas si son mal interpretados. Un buen ejemplo es el
mostrado anteriormente. ¿Serías capaz de encontrar la tensión real en el modelo
de la pieza mostrada anteriormente (L-shape bracket)? Como se esperaba, la
tensión se ha dado en la esquina. Pero como buenos calculistas que somos nos
tenemos que preguntar ¿Es la tensión principal máxima igual a 79MPa? Examinando
la gráfica de convergencia de tensiones nos lleva a pensar que algo raro
ocurre. La tensión crece con cada iteración pero, sin embargo, no tenemos un claro
ejemplo de tendencia a la divergencia si no que tenemos un proceso de
convergencia adaptativo.
Para saber que está ocurriendo se debe hacer un
refinamiento de la malla en la zona estudiada. Tras este refinamiento vemos que
el valor anterior ha aumentado a 415MPa. ¿Podemos
saber qué valor aproxima más la realidad? No, ambos se alejan de la misma
manera. El problema es que el modelo FEM está basado en un incorrecto
modelo matemático. La zona que nos interesa es parte de una zona singular por
lo que no hay forma de obtener resultados con significado alguno.
Como no podemos quedarnos tan tranquilos sin
saber el resultado debemos recurrir a modificar el modelo de cálculo. Contamos
las distintas posibilidades que podríamos plantear:
-
Podríamos añadir una soldadura (fillet weld)
pero estos detalles suelen complicados de modelar.
-
Podríamos crear un material nuevo para esa zona
y darle propiedades elastoplásticas en vez de un material lineal. Así podemos
definir un límite superior (upper bound) para las tensiones en esta zona
creando una zona plástica en vez de obtener tensiones infinitas en la zona.
-
Hay otra técnica que se llama “Defeaturin”. Yo
personalmente no lo conozco pero según el artículo en el que está basado este
artículo, puede ser peligroso usar esta técnica.
Es importante recordar que si los resultados son
fuertemente dependientes del mallado algo está siendo malinterpretado o no ha
sido modelado de forma correcta. En estos casos no se debe de hacer caso a los
resultados.
Por ejemplo, en otro artículo de Prontubeam “Desplazamiento VRS Mallado” vimos un claro ejemplo de un
mallado-dependencia claro. El desplazamiento de la esquina no paraba de crecer
según refinábamos más y más el mallado (vemos un aumento de -1.109mm a -476mm
con tan solo refinar el mallado).
En este caso, el resultado tiene una clara explicación matemática
(agradezco aquí a Luis Valdivia y a Ronald Siat la explicación que dieron y que
aquí expongo).
El modelo llevado a cabo tiene una
importantísima concentración de tensiones en el vértice de la ménsula. En
general, en el campo de la ingeniería civil es importante evitar puntos
angulosos de ese tipo, ya que en principio las tensiones se hacen infinitas al
ser el área prácticamente cero. Por eso en dichas zonas o se achaflana o se
deja un canto mínimo de 5-10 cm para que las tensiones no se disparen (y si el
elemento es de hormigón pueda entrar armadura pasiva). Diseñar elementos con
puntos angulosos asegura la fisuración y la posterior rotura del mismo en esas
esquinas.
Si la estructura tiene un comportamiento elástico-lineal, aplicándose la
hipótesis de Bernouilli para calcular la flecha a flexión en el extremo:
Al ser la inercia en el extremo nula, la flecha se hará infinita.
Igualmente, si para calcular la tensión por flexión aplicamos la fórmula de
Navier:
Al ser la inercia en el extremo nula, la tensión se hará infinita
igualmente. Si además tuviésemos axiles sucedería lo mismo, ya que el área se
hace cero.
En un modelo usual podrías analizar cómo los resultados van convergiendo
asintóticamente (aproximadamente) conforme se incrementa el número de elementos
de la malla, sin embargo, en el modelo elegido, con la singularidad existente,
no será así.
Un modelo así sería bastante más adecuado, tanto como aplicación al campo
de la ingeniería civil como para analizar la convergencia de la solución con la
variación del mallado.
Espero que os haya gustado este artículo. Recordamos que el comienzo se
trata de una traducción de un interesante artículo de www.machinedesign.com.
Además en este artículo se han mencionado los siguientes dos interesantes
artículos sobre elementos finitos de Prontubeam: