Cada día es más habitual la realización de modelos 3D completos con gran detalle para realizar cálculos estructurales y verificaciones según distintas normativas, sin embargo, en la manera tradicional de tratar estos modelos, sólo se acaba utilizando el 3D para el cálculo de esfuerzos en todas las barras y no se aprovecha todo el potencial de la definición geométrica del modelo para el diseño de la estabilidad de los elementos estructurales. Esto suele ser debido a la complicación para los programas tradicionales de estructuras en realizar cálculos de los modos de pandeo global “incluyendo la torsión” en los modelos tridimensionales donde éstos cálculos pueden reflejar la influencia que tienen algunos detalles constructivos definidos en el modelo analítico en la estabilidad de elementos, como es el caso de las excentricidades existentes entre uniones de barras, excentricidades en apoyos, posición exacta de las cargas y arriostramientos etc. Es por este motivo, que los parámetros relacionados con la verificación de pandeo de elementos, como son los coeficientes β para el pandeo por flexión, o parámetros C para la verificación del pandeo lateral, se acaban calculando mediante tablas, libros o usando programas de cálculo especiales, para introducir estos parámetros, como información adicional, en los elementos estructurales del modelo 3D original para que puedan realizar verificaciones correctas a estabilidad.

Este artículo pretende mostrar cómo es posible utilizar herramientas informáticas de fácil manejo para obtener resultados de los modos de pandeo global en modelos 3D estructurales y realizar un diseño práctico basado en el método general definido en el punto 6.3.4 de la EN 1993-1-1 y que permite verificar, de manera directa, las estructuras a partir de los resultados de sus modos de pandeo por flexión, flexión-torsión y pandeo lateral y que es aplicable a perfiles armados de inercia variable y perfiles reforzados.

1.     Análisis global de pandeo incluyendo la torsión y el alabeo de las secciones.

Este artículo trata de explicar la utilidad de utilizar elementos finitos lineales usando 7 grados de libertad por nodo, donde el alabeo de la sección se incluye en el problema matemático. Esto permitirá a los ingenieros entender, de una manera más precisa, el comportamiento estructural real y utilizar los resultados del análisis del pandeo global y segundo orden para el diseño práctico de estructuras (explicado en el siguiente punto).   

1.1.     Formulación básica utilizando elementos finitos especiales de 7 G.D.L.

En esta sección se presenta de manera resumida las bases teóricas del elemento finito viga-columna para paredes delgadas de 7 grados de libertad (7 GDL) por nodo. Las bases teóricas de este elemento fueron originalmente definidas por Borsoum and Gallagher (1970) [1]. La definición del elemento finito utilizada en programas de diseño estructural prácticos como ConSteel fue publicada por Rajasekaran en el famoso libro de texto  de Chen y Atsuta (1977) [2]. Elementos finitos similares se publicaron por  Kindmann and Kraus (2007) [3]. Este elemento finito fue modificado por Turkalj et al. (2003) [4] para poder considerar problemas con grandes desplazamientos. El software ConSteel utiliza el elemento finito de 7GDL original definido por Rajasekaran y está especialmente desarrollado para su utilización en elementos de secciones abiertas donde el alabeo tiene un efecto muy importante en el comportamiento de la sección transversal, y este efecto se puede considerar mediante la utilización de 7 GDL como muestra la Fig. 1.       

Figura 1.  Utilización de 7 GDL por nodo y alabeo de una sección abierta

Los primeros 6 GDL son los desplazamientos convencionales (u, v, w) y rotaciones (q_x, q_y, q_z) de acuerdo al sistema de coordenadas local del elemento, y el séptimo GDL es matemáticamente la primera derivada del giro torsional alrededor del eje longitudinal (q_x'); matemáticamente éste representa el alabeo de la sección el cual es una consecuencia directa de la torsión en secciones abiertas de paredes delgadas. La Fig. 1 muestra el efecto del alabeo de la sección en un perfil tipo I, cuando las alas sobresalen del plano original de la sección. En este caso el GDL del alabeo se puede considerar como una rotación de las alas dual y opuesta alrededor del eje perpendicular a su anchura (en este caso el eje local “z”). Esto nos permite considerar los 7 componentes de desplazamientos y fuerzas nodales en los dos nodos del elemento (‘j’ and ‘k’) de la siguiente manera:           

Usando estos vectores se puede establecer el equilibrio del elemento como:

Donde [K_S] es la matriz de rigidez elástica (primer orden), [K_G] es la matriz de rigidez geométrica (segundo orden) y estas matrices de rigidez de 14x14 se pueden escribir como se muestra en la Tabla 1 y la Tabla 2, donde se remarcan los términos adicionales o que son diferentes, comparando con las matrices de rigidez convencionales de 12x12. Se puede apreciar que los elementos de la matriz de rigidez [K_S] se expresan en términos de parámetros geométricos, sin embargo, los elementos de la matriz de rigidez [K_G] se expresan en términos de resultantes de tensiones tales como P, f_y, f_z, m_y^j, m_z^j  y . Este último se denomina coeficiente de Wagner, y depende de la distribución de las tensiones normales σ_x en el elemento.

Tabla 1  Matriz de rigidez elástica (primer orden) del elemento finito viga-columna para perfiles abiertos de pared delgada.

(el símbolo’ indica que z_ω, m_y and f_z  debería substituirse por y_ω, m_z y f_y)

Tabla 2  Matriz de rigidez geométrica (segundo orden) del elemento finito viga-columna para perfiles abiertos de pared delgada

El significado de las notaciones pueden encontrarse en Chen and Atsuta (1977) [2]. La cantidad de términos adicionales, especialmente en la matriz de rigidez de segundo orden, demuestra la diferencia substancial entre considerar la mecánica convencional con elementos de 6 GDL o de 7 GDL. Estos términos hacen posible resolver problemas complejos en segundo orden incluyendo la torsión con alabeo, y realizar análisis globales de pandeo considerando todos los modos posibles (pandeo por flexión, torsión, flexión-torsión, pandeo lateral y cualquier interacción entre ellos).

1.2.     Análisis de esfuerzos y deformaciones en segundo orden

En este apartado se analiza cómo se resuelve el modelo teórico del elemento estructural recto y uniforme de acero de la Fig. 2.

Figura. 2 Elemento uniforme simplemente apoyado en extremos para su análisis.

El elemento puede determinarse como un sencillo conjunto de n números de elementos finitos y n+1 nodos. La ecuación de equilibrio del elemento se puede escribir usando la Eq. (3)  juntamente con las matrices de rigidez del elemento dadas en la Tabla 1 y la Tabla 2:

O en su forma reducida,

Considerando la Eq. (3) el vector desplazamiento y la matriz de rigidez global se puede expresar de la siguiente manera:

Todas las filas relacionadas con el séptimo grado de libertad en la ecuación de equilibrio Eq. (5) son una confirmación del equilibrio de los dos bimomentos tomados en los extremos de los dos elementos conectados en el nodo (Fig. 3):

Debido a que el bimomento se debe expresar como la segunda derivada del giro de la sección, y que esta última se aproxima por un polinomio de tercer grado, la Eq. (7) asegura también la compatibilidad del alabeo. En cualquier otro caso (e.j. sección variable; elemento no recto; nudos 3D donde los elementos tienen diferentes direcciones, y así sucesivamente) la Eq. (7) no es estrictamente correcta. Sin embargo, a falta de una solución analítica precisa, la Eq. (7) puede aplicar de forma general.

Figura 3 Equilibrio del bimomento en los nudos con secciones uniformes.

1.2.1.      Ejemplo de cálculo de una viga simplemente apoyada con torsión

Este ejemplo demuestra la diferencia entre los resultados del elemento convencional de 6 GDL y el elemento de 7 GDL presentado utilizando la teoría de primer y segundo orden. La Fig. 4 muestra el caso de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro del vano con una pequeña excentricidad lateral definida de 40mm. (El software Consteel permite definir en las cargas un valor de excentricidad para facilitar al usuario la consideración de este efecto evitando la introducción de elementos auxiliares o momentos para simular el torsor equivalente que produce la carga excéntrica). 

Figura. 4  Definición de carga con excentricidad.

Utilizando el elemento de 6 GDL no se obtienen diferencias entre el análisis de primer y segundo orden y los resultados obtenidos del análisis son únicamente un momento flector respecto el eje fuerte My de 75 kNm y un momento torsor de 1 kNm mostrados en la Fig. 5.

Figura. 5  Resultados del cálculo con elemento de 6 GDL My (Izquierda) y MT (derecha)

Mediante la utilización del elemento de 7GD es posible obtener resultados más aproximados del comportamiento real de la pieza en estas condiciones, como es el caso de la torsión restringida de alabeo (obtención de un bimomento) y considerar los efectos de segundo orden en el giro de la sección, dando lugar a la aparición de un momento flector respecto al eje débil del perfil Mz, debido al efecto que tiene la carga vertical al girar las sección produciendo una flexión adicional respecto a ese plano.

En la Fig. 6 se muestran todos los resultados obtenidos mediante el análisis de segundo orden con el elemento de 7GDL.

Figura. 6  Resultados del cálculo usando elementos no lineales de 7 GDL

Estos resultados más próximos del comportamiento de un perfil sometido a torsión, ponen de manifiesto la gran influencia que tiene ésta en el resultado final de tensiones y deformaciones como puede verse en la Fig. 7 y 8, ya que a las tensiones normales debidas a la flexión en el plano y fuera del plano se suman a las tensiones normales debidas a la torsión no uniforme de alabeo (bimomento).

Figura. 7  Deformaciones de la viga y Figura. 8 Tensiones normales

En la Tabla 3 se muestran los resultados de esfuerzos calculados en el centro del vano en primer y segundo orden (flexión respecto eje fuerte, flexión respecto eje débil, bimomento y tensiones normales máximas) usando elementos de 6GDL y de 7GDL, donde se pueden extraer las siguientes conclusiones interesantes:

§  El elemento de 6 GDL calcula únicamente la torsión simple o constante de St. Venant, y consecuentemente no ofrece resultados para el bimomento, a pesar de que éste tiene un efecto muy significante en las tensiones normales.

§  En el cálculo con el elemento de 6 GDL no existe diferencia alguna entre el análisis de primer y segundo orden, sin embargo, debido la flexión en el plano y al giro de la sección aparecen efectos importantes de segundo orden que generan flexión fuera del plano.

§  Finalmente se demuestran tensiones más realistas en la sección muy superiores (más de 3 veces) comparado con el cálculo clásico con 6GDL, debido al cálculo más preciso donde se consideran los efectos de segundo orden en el bimomento y el efecto de la flexión fuera del plano debido a la rotación del perfil.

Tabla 3  Resultados de las máximas tensiones normales en la sección transversal.

1.3.     Análisis lineal del pandeo en barras

La condición general para los problemas de pandeo (como el pandeo por flexión “Flexural buckling” FB); pandeo lateral “lateral-torsional buckling” LTB; o pandeo combinado “coupled buckling” CB) es que la carga no incluya ningún tipo de componente que pueda causar deformaciones en la forma del modo de pandeo.

La Eq. (8) no significa que el modelo este descargado, sino que la carga no genera deformación en la forma del modo de pandeo (por ejemplo en el caso de pilares con carga axial pero no transversal).

En la práctica, en vez de la solución teórica de la Eq. (9), se puede aplicar el siguiente método numérico donde se asume que los resultados de tensiones son linealmente proporcionales al factor de carga λ, y en consecuencia la Eq. (5) se debe escribir como sigue:

En el punto crítico la segunda variación de la energía de deformación debería ser igual a cero (ya que el vector de carga no incluye ningún componente que genere trabajo externo) 

Eq. (11) se satisfice si:

A este problema se le llama autovalores o valores propios y la solución numérica se resuelve en el software ConSteel en base al método de Lánczos modificado. Con este método se puede analizar un número arbitrario (como máximo el número de grados de libertad) de valores propios y vectores propios. El valor propio positivo más bajo dará el factor carga crítico, despreciando los valores negativos ya que no tienen un significado físico al no considerar el caso de inversión de carga.

La forma del modo de pandeo se determina con el vector propio apropiado. El software ConSteel aplica este método con gran precisión.

1.3.1.      Ejemplo de pandeo lateral en viga mono simétrica

Seguidamente se calcula el valor el valor límite de la carga transversal puntual aplicada en una viga simplemente apoyada con una sección transversal mono-simétrica (ala superior: 150-10,7; alma: 289,7-7,1; ala inferior: 75-10,7). La carga se encuentra en el medio de la sección trasversal y en el plano de simetría de la viga.

Solución teórica analítica

La ecuación general del momento crítico de pandeo lateral fue publicada por Clark and Hill (1960) y más tarde esta fórmula fue propuesta para utilizarla en el diseño por Boissonnade et al. (2006). La ecuación general es la siguiente:

Donde d_p es la distancia entre el punto de acción de la carga P y el centro de esfuerzos cortantes M (esta es positiva, si la fuerza está dirigida a M mirando desde el punto de aplicación). El factor k=0,5-0,1 es el coeficiente de longitud de pandeo en el plano lateral de pandeo (0,5 es para extremos empotrados, mientras que 1,0 para articulados). b_y, está relacionado con secciones mono simétricas y es positivo si la parte comprimida es el ala con mayor área:

Muchos investigadores han estudiado la calibración del coeficiente C y es posible encontrar un estudio amplio sobre estos factores en el libro de texto Silva et al. (2013). El factor C para el modelo del ejemplo superior fue definido por Mohri et al. (2003) mediante una solución analítica con el siguiente resultado:

Debajo se muestran los detalles del cálculo para encontrar el momento crítico que está relacionado al valor máximo de la distribución de momento (en este caso el máximo se encuentra en el medio de la viga):  

Solución con software ConSteel (método de elementos finitos)

La carga crítica para el modo de pandeo lateral se calcula mediante un modelo de elementos finitos de 7 GDL. Como M_cr=P_cr·L/4, se aplica una carga P=1/1,5 kN (de esta manera el momento crítico o es igual al valor propio). Los resultados se muestran en la Fig. 10. Llegando a las siguientes conclusiones:

Figura. 10 Cálculo de la carga crítica de pandeo lateral en sección mono-simétrica

Tabla 4  Comparación de resultados en función del nº de elementos finitos usado.

Conclusiones

o   Se puede calcular la carga crítica de pandeo lateral con el software ConSteel con una buena precisión usando al menos n=2 elementos finitos por barra. La diferencia entre el momento crítico usando n=2 o n=32 es despreciable (menos del 0.6%).

2.     Bibliografía

Referencias bibliográficas

[1]      Borsoum and Gallagher (1970): Finite Element Analysis of Torsional and Torsional-Flexural Stability Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 2. 335-352, Wiley & Sons 1970

[2]      Chen and Atsuta (1977): Theory of Beam-Columns. Vol.2: Space Behaviour and Design, McGraw-Hill, 1977

[3]      Kindmann and Kraus (2007): Finite Element Methoden im Stahlbau. Berlin: Verlag Ernst & Sohn 2007.

[4]      Turkalj et al. (2003): Large rotation analysis of elastic thin-walled beam- type structures using ESA approach, Computers & Structures 81 (2003)

[5]      C. Basaglia, D.Camotim, N.Silvestre (2012): Torsion warping transmission at thin-walled frame joints: Kinematics, modelling and structural response. Journal of Constructional Steel Research 69/1

[6]      Clark and Hill (1960): Lateral buckling of beams. Proc. ASCE, ST7, 175-190

[7]      Boissonnade et al. (2006): les for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines, ECCS Technical Committee – Stability, No 119, 2006 ISBN 92-9147-000-84, p. 229

[8]      Silva et al. (2013): Comparison between C factors for determination of the elastic critical moment of steel beams, ECCS Technical Committee – Stability, Working Paper for Meeting in Stuttgart, Germany 21 June, 2013 

[9]      Mohri et al. (2003): Theoretical and numerical analyses of unrestrained, mono-symmetric thinwalled beams. Constructional Steel Research 59 (2003), pp. 63–90.

[10]   Kindmann, R: Stahlbau, Teil 1:Grundlagen. Berlin: Verlag Ernst & Sohn 2013.

Autores:

·         Dr. József Szalai

Doctor Ingeniero Civil por la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest BUTE

Profesor asociado en la facultad de ingeniería civil de la universidad de Szent István de Hungría

Director Técnico de Consteel Solution Ltd, y jefe de desarrollo de I+D de la empresa KÉSZ Ltd

Miembro del comité técnico TC8 (Estabilidad) de la ECCS. 

·         Dr. Ferenc Papp

Doctor Ingeniero Estructural por la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest BUTE

Director de departamento en la Universidad de Széchenyi István de Budapest.

Miembro del comité técnico TC8 (Estabilidad) de la ECCS. 

·         Albert Jiménez Morales

Ingeniero Industrial titulado en la Universidad Politécnica de Catalunya UPC

Profesor asociado en el departamento de Ingeniería de la construcción de la escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona.

Director técnico de I+D de la empresa Construsoft.S.L