Cada
día es más habitual la realización de modelos 3D completos con gran detalle
para realizar cálculos estructurales y verificaciones según distintas
normativas, sin embargo, en la manera tradicional de tratar estos modelos, sólo
se acaba utilizando el 3D para el cálculo de esfuerzos en todas las barras y no
se aprovecha todo el potencial de la definición geométrica del modelo para el
diseño de la estabilidad de los elementos estructurales. Esto suele ser debido
a la complicación para los programas tradicionales de estructuras en realizar
cálculos de los modos de pandeo global “incluyendo la torsión” en los modelos tridimensionales
donde éstos cálculos pueden reflejar la influencia que tienen algunos detalles
constructivos definidos en el modelo analítico en la estabilidad de elementos,
como es el caso de las excentricidades existentes entre uniones de barras,
excentricidades en apoyos, posición exacta de las cargas y arriostramientos
etc. Es por este motivo, que los parámetros relacionados con la verificación de
pandeo de elementos, como son los coeficientes β para el pandeo por
flexión, o parámetros C para la verificación del pandeo lateral, se acaban
calculando mediante tablas, libros o usando programas de cálculo especiales,
para introducir estos parámetros, como información adicional, en los elementos
estructurales del modelo 3D original para que puedan realizar verificaciones
correctas a estabilidad.
Este
artículo pretende mostrar cómo es posible utilizar herramientas informáticas de
fácil manejo para obtener resultados de los modos de pandeo global en modelos
3D estructurales y realizar un diseño práctico basado en el método general definido
en el punto 6.3.4 de la EN 1993-1-1 y que permite verificar, de manera directa,
las estructuras a partir de los resultados de sus modos de pandeo por flexión,
flexión-torsión y pandeo lateral y que es aplicable a perfiles armados de
inercia variable y perfiles reforzados.
Este artículo
trata de explicar la utilidad de utilizar elementos finitos lineales usando 7
grados de libertad por nodo, donde el alabeo de la sección se incluye en el
problema matemático. Esto permitirá a los ingenieros entender, de una manera
más precisa, el comportamiento estructural real y utilizar los resultados del
análisis del pandeo global y segundo orden para el diseño práctico de
estructuras (explicado en el siguiente punto).
En esta
sección se presenta de manera resumida las bases teóricas del elemento finito
viga-columna para paredes delgadas de 7 grados de libertad (7 GDL) por nodo.
Las bases teóricas de este elemento fueron originalmente definidas por Borsoum and Gallagher (1970) [1]. La definición del elemento finito utilizada en programas de
diseño estructural prácticos como ConSteel fue
publicada por Rajasekaran
en el famoso libro de texto de Chen y Atsuta (1977) [2]. Elementos finitos similares se
publicaron por Kindmann and Kraus
(2007) [3]. Este elemento finito fue
modificado por Turkalj et al. (2003) [4] para poder considerar problemas con
grandes desplazamientos. El software ConSteel utiliza
el elemento finito de 7GDL original definido por Rajasekaran
y está especialmente desarrollado para su utilización en elementos de secciones
abiertas donde el alabeo tiene un efecto muy importante en el comportamiento de
la sección transversal, y este efecto se puede considerar mediante la
utilización de 7 GDL como muestra la Fig.
1.
Figura 1. Utilización de 7 GDL por nodo y alabeo de una
sección abierta
Los
primeros 6 GDL son los desplazamientos convencionales (u, v, w) y rotaciones (qx, qy, qz)
de acuerdo al sistema de coordenadas local del elemento, y el séptimo GDL es
matemáticamente la primera derivada del giro torsional alrededor del eje
longitudinal (qx'); matemáticamente éste representa el alabeo
de la sección el cual es una consecuencia directa de la torsión en secciones
abiertas de paredes delgadas. La Fig. 1
muestra el efecto del alabeo de la sección en un perfil tipo I, cuando las alas
sobresalen del plano original de la sección. En este caso el GDL del alabeo se
puede considerar como una rotación de las alas dual y opuesta alrededor del eje
perpendicular a su anchura (en este caso el eje local “z”). Esto nos permite
considerar los 7 componentes de desplazamientos y fuerzas nodales en los dos
nodos del elemento (‘j’ and ‘k’) de la siguiente manera:
Usando
estos vectores se puede establecer el equilibrio del elemento como:
Donde [KS] es la matriz de rigidez elástica (primer orden), [KG] es la matriz de rigidez
geométrica (segundo orden) y estas matrices de rigidez de 14x14 se pueden
escribir como se muestra en la Tabla 1
y la Tabla 2, donde se remarcan los
términos adicionales o que son diferentes, comparando con las matrices de
rigidez convencionales de 12x12. Se puede apreciar que los elementos de la
matriz de rigidez [KS] se
expresan en términos de parámetros geométricos, sin embargo, los elementos de
la matriz de rigidez [KG]
se expresan en términos de resultantes de tensiones tales como P, fy, fz, myj,
mzj y
Tabla 1 Matriz de rigidez elástica (primer orden) del
elemento finito viga-columna para perfiles abiertos de pared delgada.
(el símbolo’ indica que zω,
my
and fz debería substituirse por yω,
mz
y fy)
Tabla 2 Matriz de rigidez geométrica (segundo
orden) del elemento finito viga-columna para perfiles abiertos de pared delgada
El
significado de las notaciones pueden encontrarse en Chen and Atsuta (1977) [2]. La cantidad de términos
adicionales, especialmente en la matriz de rigidez de segundo orden, demuestra
la diferencia substancial entre considerar la mecánica convencional con
elementos de 6 GDL o de 7 GDL. Estos términos hacen posible resolver problemas
complejos en segundo orden incluyendo la torsión con alabeo, y realizar
análisis globales de pandeo considerando todos los modos posibles (pandeo por
flexión, torsión, flexión-torsión, pandeo lateral y cualquier interacción entre
ellos).
En este
apartado se analiza cómo se resuelve el modelo teórico del elemento estructural
recto y uniforme de acero de la Fig. 2.
Figura. 2 Elemento uniforme simplemente
apoyado en extremos para su análisis.
El
elemento puede determinarse como un sencillo conjunto de n números de elementos finitos y n+1 nodos. La ecuación de equilibrio del elemento se puede escribir
usando la Eq. (3) juntamente con las matrices de rigidez del
elemento dadas en la Tabla 1 y la Tabla 2:
O en su
forma reducida,
Considerando
la Eq. (3) el vector desplazamiento y la
matriz de rigidez global se puede expresar de la siguiente manera:
Todas
las filas relacionadas con el séptimo grado de libertad en la ecuación de equilibrio
Eq. (5) son una confirmación del
equilibrio de los dos bimomentos tomados en los
extremos de los dos elementos conectados en el nodo (Fig. 3):
Debido
a que el bimomento se debe expresar como la segunda
derivada del giro de la sección, y que esta última se aproxima por un polinomio
de tercer grado, la Eq. (7) asegura también la compatibilidad
del alabeo. En cualquier otro caso (e.j. sección
variable; elemento no recto; nudos 3D donde los elementos tienen diferentes
direcciones, y así sucesivamente) la Eq. (7) no es estrictamente
correcta. Sin embargo, a falta de una solución analítica precisa, la Eq. (7) puede aplicar de forma general.
Figura 3 Equilibrio del bimomento
en los nudos con secciones uniformes.
Este
ejemplo demuestra la diferencia entre los resultados del elemento convencional
de 6 GDL y el elemento de 7 GDL presentado utilizando la teoría de primer y
segundo orden. La Fig. 4 muestra el
caso de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro del
vano con una pequeña excentricidad lateral definida de 40mm. (El software Consteel
permite definir en las cargas un valor de excentricidad para facilitar al
usuario la consideración de este efecto evitando la introducción de elementos
auxiliares o momentos para simular el torsor
equivalente que produce la carga excéntrica).
Figura. 4 Definición de carga con excentricidad.
Utilizando
el elemento de 6 GDL no se obtienen diferencias entre el análisis de primer y
segundo orden y los resultados obtenidos del análisis son únicamente un momento
flector respecto el eje fuerte My de 75 kNm y un momento torsor de 1 kNm mostrados en la Fig.
5.
Figura. 5 Resultados del cálculo con elemento de 6 GDL My (Izquierda) y MT (derecha)
Mediante
la utilización del elemento de 7GD es posible obtener resultados más
aproximados del comportamiento real de la pieza en estas condiciones, como es
el caso de la torsión restringida de alabeo (obtención de un bimomento) y considerar los efectos de segundo orden en el
giro de la sección, dando lugar a la aparición de un momento flector respecto
al eje débil del perfil Mz, debido al efecto que
tiene la carga vertical al girar las sección produciendo una flexión adicional respecto
a ese plano.
En la Fig. 6 se muestran todos los resultados
obtenidos mediante el análisis de segundo orden con el elemento de 7GDL.
Figura. 6 Resultados del cálculo usando elementos no
lineales de 7 GDL
Estos
resultados más próximos del comportamiento de un perfil sometido a torsión,
ponen de manifiesto la gran influencia que tiene ésta en el resultado final de tensiones
y deformaciones como puede verse en la Fig.
7 y 8, ya que a las tensiones normales debidas a la flexión en el plano y
fuera del plano se suman a las tensiones normales debidas a la torsión no
uniforme de alabeo (bimomento).
Figura. 7 Deformaciones de la viga y Figura. 8 Tensiones normales
En la Tabla 3 se muestran los resultados de
esfuerzos calculados en el centro del vano en primer y segundo orden (flexión
respecto eje fuerte, flexión respecto eje débil, bimomento
y tensiones normales máximas) usando elementos de 6GDL y de 7GDL, donde se
pueden extraer las siguientes conclusiones interesantes:
§ El elemento de 6 GDL calcula
únicamente la torsión simple o constante de St. Venant,
y consecuentemente no ofrece resultados para el bimomento,
a pesar de que éste tiene un efecto muy significante en las tensiones normales.
§ En el cálculo con el elemento de
6 GDL no existe diferencia alguna entre el análisis de primer y segundo orden,
sin embargo, debido la flexión en el plano y al giro de la sección aparecen
efectos importantes de segundo orden que generan flexión fuera del plano.
§ Finalmente se demuestran
tensiones más realistas en la sección muy superiores (más de 3 veces) comparado
con el cálculo clásico con 6GDL, debido al cálculo más preciso donde se
consideran los efectos de segundo orden en el bimomento
y el efecto de la flexión fuera del plano debido a la rotación del perfil.
Tabla
3 Resultados de las máximas
tensiones normales en la sección transversal.
La
condición general para los problemas de pandeo (como el pandeo por flexión “Flexural buckling” FB); pandeo
lateral “lateral-torsional buckling” LTB; o pandeo
combinado “coupled buckling”
CB) es que la carga no incluya ningún tipo de componente que pueda causar
deformaciones en la forma del modo de pandeo.
La Eq. (8) no significa que el modelo este
descargado, sino que la carga no genera deformación en la forma del modo de
pandeo (por ejemplo en el caso de pilares con carga axial pero no transversal).
En la
práctica, en vez de la solución teórica de la Eq.
(9), se puede aplicar el siguiente método numérico donde se asume que los
resultados de tensiones son linealmente proporcionales al factor de carga λ,
y en consecuencia la Eq. (5) se debe escribir como
sigue:
En el punto crítico la segunda variación de
la energía de deformación debería ser igual a cero (ya que el vector de carga
no incluye ningún componente que genere trabajo externo)
Eq. (11) se satisfice si:
A este problema se le llama autovalores o valores propios y
la solución numérica se resuelve en el software ConSteel
en base al método de Lánczos modificado. Con este
método se puede analizar un número arbitrario (como máximo el número de grados
de libertad) de valores propios y vectores propios. El valor propio positivo
más bajo dará el factor carga crítico, despreciando los valores negativos ya que
no tienen un significado físico al no considerar el caso de inversión de carga.
La forma del modo
de pandeo se
determina con el vector propio apropiado. El software ConSteel
aplica este método con gran precisión.
Seguidamente
se calcula el valor el valor límite de la carga transversal puntual aplicada en
una viga simplemente apoyada con una sección transversal mono-simétrica (ala superior: 150-10,7; alma: 289,7-7,1;
ala inferior: 75-10,7). La carga se encuentra en el medio de la sección
trasversal y en el plano de simetría de la viga.
Solución teórica analítica
La
ecuación general del momento crítico de pandeo lateral fue publicada por Clark and Hill (1960) y más tarde esta fórmula fue propuesta para utilizarla
en el diseño por Boissonnade et al. (2006). La ecuación general es
la siguiente:
Donde dp es
la distancia entre el punto de acción de la carga P y el centro de esfuerzos cortantes M (esta es positiva, si la fuerza está dirigida a M mirando desde
el punto de aplicación). El factor k=0,5-0,1
es el coeficiente de longitud de pandeo en el plano lateral de pandeo (0,5 es para extremos empotrados, mientras
que 1,0 para articulados). by, está relacionado con secciones mono simétricas y
es positivo si la parte comprimida es el ala con mayor área:
Muchos investigadores
han estudiado la calibración del coeficiente C y es posible encontrar un estudio amplio sobre estos factores en
el libro de texto Silva et al. (2013). El factor C para el modelo del ejemplo superior
fue definido por Mohri
et al. (2003)
mediante una solución analítica con el siguiente
resultado:
Debajo se muestran los detalles
del cálculo para encontrar el momento crítico que está relacionado al valor
máximo de la distribución de momento (en este caso el máximo se encuentra en el
medio de la viga):
Solución
con software ConSteel (método de elementos finitos)
La carga crítica para el modo de pandeo
lateral se calcula mediante un modelo de elementos finitos de 7 GDL. Como Mcr=Pcr·L/4,
se aplica una carga P=1/1,5 kN (de esta manera el momento crítico o es igual al valor
propio). Los resultados se muestran en la Fig. 10. Llegando a las siguientes conclusiones:
Figura. 10 Cálculo de la carga crítica de
pandeo lateral en sección mono-simétrica
Tabla
4 Comparación de resultados en
función del nº de elementos finitos usado.
Conclusiones
[1]
Borsoum and Gallagher (1970): Finite Element Analysis of
Torsional and Torsional-Flexural Stability Problems, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, Vol. 2. 335-352, Wiley & Sons 1970
[2]
Chen and Atsuta (1977): Theory of Beam-Columns. Vol.2:
Space Behaviour and Design, McGraw-Hill,
1977
[3]
Kindmann and Kraus (2007): Finite Element Methoden im
Stahlbau. Berlin: Verlag Ernst & Sohn 2007.
[4]
Turkalj et al. (2003): Large rotation analysis of elastic
thin-walled beam- type structures using ESA approach, Computers &
Structures 81 (2003)
[5]
C. Basaglia, D.Camotim,
N.Silvestre (2012): Torsion warping transmission at thin-walled frame joints:
Kinematics, modelling and structural response. Journal of Constructional Steel
Research 69/1
[6]
Clark and Hill (1960): Lateral buckling of beams. Proc. ASCE, ST7, 175-190
[7]
Boissonnade et al. (2006): les for Member Stability in EN
1993-1-1, Background documentation and design guidelines, ECCS Technical
Committee – Stability, No 119, 2006 ISBN 92-9147-000-84, p. 229
[8]
Silva et al. (2013): Comparison between C factors for determination of the elastic
critical moment of steel beams, ECCS Technical Committee – Stability, Working
Paper for Meeting in Stuttgart, Germany 21 June, 2013
[9]
Mohri et al. (2003): Theoretical and numerical analyses
of unrestrained, mono-symmetric thinwalled beams. Constructional Steel Research
59 (2003), pp. 63–90.
[10]
Kindmann, R: Stahlbau, Teil 1:Grundlagen. Berlin: Verlag Ernst
& Sohn 2013.
Autores:
·
Dr. József Szalai
Doctor Ingeniero Civil por la Universidad de Tecnología y Economía de
Budapest BUTE
Profesor asociado en la facultad de ingeniería civil de la universidad
de Szent István de Hungría
Director Técnico de Consteel
Solution Ltd, y jefe de
desarrollo de I+D de la empresa KÉSZ Ltd
Miembro del comité técnico TC8 (Estabilidad) de la
ECCS.
·
Dr. Ferenc Papp
Doctor Ingeniero Estructural por la Universidad de
Tecnología y Economía de Budapest BUTE
Director de departamento en la Universidad de Széchenyi István de Budapest.
Miembro del comité técnico TC8 (Estabilidad) de la
ECCS.
·
Albert Jiménez
Morales
Ingeniero Industrial titulado en la Universidad
Politécnica de Catalunya UPC
Profesor asociado en el departamento de Ingeniería
de la construcción de la escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de
Barcelona.
Director técnico de I+D de la empresa Construsoft.S.L