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DEFORMACIÓN PLANA - TENSIÓN PLANA. ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL

23 de Marzo de 2018 | Autor: Prontubeam (@Prontubeam) Leído: 5809 veces

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Deformación plana – Tensión plana. Elasticidad bidimensional

En este artículo vamos a tratar la diferencia entre deformación plana y tensión plana, que son los dos estados de carga principales de la elasticidad bidimensional. Lo mejor para entender cada caso es ver varios ejemplos de cada uno y estudiar el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones de cada uno.

tension plana/deformación plana

Hay unas características comunes a ambos casos:

Características comunes

Tanto la deformación plana como la tensión plana comparten las siguientes características comunes:

·         Geometría: contenida en un plano XY y proyectada en una generatriz paralela al eje Z

·         Cargas: Se encuentran actuando en la superficie y comprendidas en el plano XY. De este modo para definirlas se usan las coordenadas X e Y, (la Z no se usa, no depende de ella).  Esto nos lleva a tener un problema bidimensional

 

Deformación plana

Hay unas características comunes que definen la deformación plana.

Características:

Ø  La dirección Z es muy grande con respecto a las otras medidas (relativo)

Ø  No aparecen deformaciones según la dirección Z (a lo largo de la pieza), tampoco deformaciones angulares gamma xz ni  yz

Vamos a ver algún ejemplo donde se vean claras estas características:

Túnel:

-          Vemos que la dimensión en dirección Z, la longitud del túnel,  es muy grande comparado con las otras.

-          En dirección Z no puede haber deformación, tampoco deformaciones angulares gamma xz ni  yz. 

-          Ojo, en cuanto a las tensiones, si pueden aparecer tensiones por el efecto poisson. Las tensiones quedan definidas por el tensor de tensiones (definido más adelante).

deformación plana-túnel

Figura 1 Ejemplo de deformación plana – Túnel

Para modelar los casos de elasticidad plana, basta con definir una sección y aplicar las cargas contenidas en esa sección (además de elegir los elementos correctos – Elasticidad bidimensional, deformación plana). En la siguiente imagen mostramos un ejemplo del modelo de un túnel:

Figura 2 Modelado de la sección de un túnel con CivilFEM – Deformación plana

 

Presa:

Una presa también es un buen ejemplo de deformación plana. Cumple las mismas características que en el caso del túnel.  No hay deformada en la dirección longitudinal ni las deformaciones angulares antes mencionadas y la dirección según Z (largo de la presa) es más grande que las otras dos dimensiones. Como vemos podríamos estudiar una sección de longitud unidad que representaría el total de la presa.

Ejemplo de deformación plana - Presa

Figura 3 Ejemplo de deformación plana - Presa

Mostramos ahora el tensor de tensiones y el de deformaciones.

tensor de tensiones y el de deformaciones

Como hemos dicho, la deformación según Z es nula pero sin embargo, la tensión en dirección Z no lo es y además depende del módulo de poisson (ν). Ambas quedan relacionadas de la siguiente manera:

Tensión plana

De nuevo presentamos las características comunes y posteriormente algún ejemplo explicativo.

Características:

Ø  La dirección Z es muy pequeña con respecto a las otras medidas (relativo)

Ø  Ahora aparecen deformaciones según la dirección Z (a lo largo de la pieza) pero no tensiones  según esta dirección (ver tensor de tensiones y deformaciones más adelante para comprobarlo)

El ejemplo más típico es el de la placa de espesor delgado:

Placa de espesor delgado con agujero:

-          Vemos que la dimensión en dirección Z es muy pequeña en comparación de las otras dimensiones

-          Aparecen tensiones en dirección X, tensiones en Y (alrededor del agujero de la placa) y tensiones tangenciales ζXY, pero no podemos tener tensiones en Z ni ζXZ ni ζYZ.

-          Aunque no pueden aparecer tensiones en dirección Z generalmente tendremos deformadas en esta dirección.

Placa de espesor delgado con agujero

Figura 4 Ejemplo de tensión plana – Placa delgada

 

Otro ejemplo de tensión plana:

Deposito con presión interna:

Aunque aparentemente las cargas son perpendiculares, todas las tensiones están contenidas en el plano de la pared del tanque. Cuando se somete al depósito a presión interna aparecen tensiones de membrana, tensiones de tracción que se encuentran contenidas en el plano de la pared del depósito. El espesor del tanque es mucho más pequeño que las otras dos dimensiones del mismo.

  Deposito a presión

Figura 5 Ejemplo de tensión plana – Depósito a presión

 

Vamos a ver el tensor de tensiones y de deformaciones y comprobamos lo que ya hemos comentado.

tensor de tensiones y de deformaciones-Tensión plana

Como hemos dicho antes, sabemos que las deformaciones no son nulas en Z, que vuelven a estar relacionadas con el módulo de poisson y las tensiones en las otras dos dirección. Vienen dadas por:

Espero que con este sencillo ejemplo hayan quedado un poco más claras las diferencias entre tensión plana y deformación plana, siendo ambos dos estados pertenecientes a la elasticidad bidimensional.

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Sobre el autor
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Carlos Corral . Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la universidad Politécnica de Madrid. Especialidad: Cálculo de estructuras. Creador y programador de Prontubeam.
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